ميان ترم جبر 1 دكتر خشايارمنش 28/9/85 فردوسي مشهد

نام آزمون : ميان ترم اول جبر 1

نام استاد : دكتر خشايارمنش

تاريخ برگزاري : 28/9/85

دانشگاه : فردوسي مشهد

دانشكده : علوم رياضي و آمار

1. قضاياي اول ، دوم و سوم يكريختي را فقط بيان كنيد.

2. الف : زيرگروه مشتق يك گروه را تعريف كنيد.

ب : فرض كنيد G يك گروه و H يك زير گروه نرمال از آن باشد. نشان دهيد كه آبلي است اگر و تنها اگر .

3. فرض كنيد G گروهي باشد به طوري كه تمام زير گروه هاي آن نرمال باشند. نشان دهيد براي هر عدد صحيح j موجود است به طوري كه .

4. فرض كنيد و يك دور باشد. ثابت كنيد .

راهنمايي : چون يك جايگشت روي است لذا .

5. فرض كنيد G و H دو گروه متناهي باشند و . فرض كنيد يك همريختي باشد. نشان دهيد كه در آن 'e عضو هماني H است.

6. درستي و يا نادرستي گزاره هاي زير را بررسي كنيد. ( با اثبات )

الف : اگر در گروه G هر عضو با وارونش برابر باشد آنگاه G آبلي است.

ب : حداقل يك گروه آبلي از مرتبه ي هر عدد طبيعي موجود است.

ج : اگر دو گروه و به ترتيب زيرگروه هايي از آنها باشند و و آنگاه .

د : تصوير يك گروه 6 عضوي تحت يك همريختي مي تواند گروهي 12 عضوي باشد.

ه : هر عضو از مرتبه ي نامتناهي از گروه به شكل عضوي از است.