نام آزمون: پایانترم گروه های خطی

دانشگاه: صنعتی شریف

دانشکده علوم ریاضی

استاد: دکتر غلامزاده محمودی

نیمسال اول 95-1394

تاریخ برگزاری: 21 دی 1394 (13941021)

وقت ۳ ساعت

دانلود فایل PDF پایانترم (همین آزمون)

سؤال ۱. فرض کنید  $ (V,b) $ یک فضای دوخطی متقارن و آنیزوتروپ از بعد 2 روی یک میدان F از مشخصه مخالف 2 باشد.

الف) نشان دهید می توان یک تابع همانند تابع کسینوس متعارف از $ SO(V) $ به F تعریف کرد. چند خاصیت معمول این تابع کسینوس را بیان کنید.

ب) برای $ p \in SO(V) $ درستی تساوی $ \cos(\rho^n) = 2 \cos(\rho) \cos(\rho^{n-1}) - \cos(\rho^{n-2}) $ را بررسی کنید.

سؤال ۲.از قسمت های این سوال فقط به یک مورد پاسخ دهید:

الف) نشان دهید $ SO(\mathbb{Q}^3) $ گروه ساده نیست.

ب) نشان دهید $ \frac{SO(2,2)}{\pm id} $ گروه ساده نیست.

سؤال ۳. فرض کنید  $ (V,b) $ یک فضای دوخطی متقارن روی یک میدان F از مشخصه مخالف 2 باشد. اگر $ \dim V $ زوج باشد و $ \sigma \in O(V) \ SO(V) $ آن گاه نشان دهید $ \sigma $ یک نقطه ثابت ناصفر دارد. با ذکر یک مثال نشان دهید اگر $ \sigma \in SO(V) $ این حکم معتبر نیست.

سؤال ۴. الف) فرض کنید $ \tau_1 $ و $ \tau_2 $ دو ترابر سیمپلکتیک در $ SP(V) $ باشند و بردار$ u \in V $ موجود باشد به طوری که

$ \tau_1 (u) = \tau_2(u) \neq u $

نشان دهید $ \tau_1 = \tau_2 $ .

ب) آیا حکم قسمت قبل برای ترابرهای معمولی در $ SL(V) $ هم معتبر است؟

سؤال ۵. فرض کنید F یک میدان متناهی q عضوی از مشخصه مخالف دو و  $ (V,b) $ یک فضای دوخطی متقارن روی F از بعد 3 با ماتریس گرام همانی باشد.

الف) تعداد انعکاس ها در $ O(V) $ را بیابید.

ب) تعداد برگزدان ها در $ O(V) $ را بیابید.

موفق باشید.

دانلود فایل PDF پایانترم (همین آزمون)