ميدان

تعریف میدان: مجموعه ‎ $A ‎\neq ‎\emptyset ‎$‎را ‎همراه‎ با دو عمل دوتایی + و . را در نظر بگیرید. مجموعه ‌ A همراه با این دو عمل دوتایی تشکیل یک میدان را می‌دهد هرگاه در شرایط زیر صدق کند:

۱. هرگاه مجموعه ‌ A‌‌‌ نسبت به دو عمل دوتایی + و . بسته باشد، به عبارت دیگر داریم:

‎$ ‎\forall x‎ ,‎ y‎ ‎\in A‎ ,‎ ‎x.y ‎\in A‎ ,‎ ‎x+y ‎\in ‎A‎ $‌‌‎

۲. هرگاه دو عمل دوتایی + و . بر روی مجموعه ‌ A‎ جا به جایی باشد، به عبارت دیگر داریم:

‎$ ‎\forall x‎ ,‎ y‎ ‎\in A‎ ,‎ ‎x+y =‎ ‎y+x‎ $‌‌‎

۳. هرگاه عمل دوتایی + بر روی مجموعه ‌A ‎ شرکتپذیر باشد، به عبارت دیگر داریم:

‎$ ‎\forall ‎x,y,z ‎\in A,‎ ‎(x+y) +‎ z‎ = ‌‎x+(y+z)$‌‏

۴. مجموعه ‌A ‎ نسبت به عمل دوتایی + دارای عضو همانی است، به عبارت دیگر داریم:

‎$ ‎\exists‎ 0_{A} ‎\in A‎ ,‎ ‎\forall a \in A , a+0_A = 0_A + a = a $‌‌‎

۵. هرگاه هر عضو از مجموعه ‌ A‎‎ دارای‎ عضو وارون منحصر به فرد باشد، به عبارت دیگر داریم:

‎$ ‌‎\forall a‎ ‎\in A‎ , ‌‌‌‎\exists b‎ ‎\in A‎ ,‎ ‎a+b =‎ ‎b+a =‎ 0‎_A $‌‌‎

۶. نسبت به عمل دوتایی ضرب جا به جایی باشد، به عبارت دیگر داریم:

‎$ ‌‎\forall ‎x,y ‎\in A‎ ,‎ ‎x.y =‎ ‎y.x‎ $‌‌‎

۷. نسبت به عمل دوتایی ضرب شرکتپذیر باشد، به عبارت دیگر داریم:

‎$ ‌‎\forall ‎x,y,z ‎\in A‎ ,‎ ‎(x.y)z = ‎x(y.z)‌‌‌‌‎ $‌‌‎

۸. عضو منحصر به فردي چون ‎$‎1_A ‎\in ‎A‎$‌‌‏ موجود باشد به گونه ای که به ازای هر ‎$‎ a‎ ‎\in A ‌‌‌‎$‌‌‏ می‌گیریم داشته باشیم:

‎$ 1_A .‎ a‎ =‎ a‎ .‎ 1‎_A =‎ ‎a‎ $‌‌‏ .

۹. به ازای هر عضو ‎$‎ a‎ ‎\in A ‌‌‌‎$‌‌‏ عضو منحصر به فردی چون b‌‌‎ موجود باشد که نسبت به عمل دوتایی ضرب داشته باشیم:

‎$ ‌‌‌‎\forall a\in A, ‌‌‌‎\exists b‎\in A‎, ‎a.b =‎ ‎b.a =‎ ‎1_A ‌‎$

۱۰. ‌‏به‌‎ ازای هر ‎$‌‎ ‎x,y,z ‎\in A ‌‌‌‎$‌‌‏ می‌گیریم عمل دوتایی ضرب بر روی عمل دوتایی جمع پخشپذیر باشد.

‌‎$ x‎ .‎ (‎ ‎y+z )‎ =‎ ‎x.y +‎ ‎x.z ‌‎$‌‎

‎$ (‎ ‎y+z )‎ .‎ x‎ =‎ ‎y.x +‎ ‎z.x ‌‎$‌‎

در نتیجه هر مجموعه ‌ای که در ۱۰ شرط بالا صدق کند یک میدان می‌باشد.

‏مثال. آیا اعداد گویا با دو عمل دوتایی + و . تعریف شده به صورت زیر تشکیل یک میدان را می دهد؟

‎$ ‌‎\forall ‎\frac{a}{b}, ‌‎\frac{c}{d} ‎\in Q‎\longrightarrow‎ ‌‌‌‎\frac{a}{b} + ‌‌‎\frac{c}{d} = ‌‌‌‎\frac{ad+ bc}{bd}‌‎ $‎

‎$ ‌‎\forall ‎\frac{a}{b}, ‌‎\frac{c}{d} ‎\in Q‎\longrightarrow‎ ‌‌‌‎\frac{a}{b} . ‌‌‎\frac{c}{d} = ‌‌‌‎\frac{ac}{bd}‌‎ $‌‌‌‎

برای اینکه ببینیم ‎$‌‎ ‎(Q, ‎+, ‎.) ‎$‌‌‎ تشکیل یک میدان‌‎ می‌دهد یا خیر، كافي است ۱۰ شرط بالا را برای میدان بودن بررسی کنیم.

۱. مجموعه ‌ نسبت به دو عمل دوتایی جمع و ضرب بسته است، زیرا حاصل جمع دو عدد گویا، عددی به صورت ‎$ ‌‌‌‎\frac{ad + bc}{bd} ‌‎$‎ است که خود ‏یک عدد گویا است. پس نسبت به عمل دوتایی جمع بسته و با توجه به اینکه نسبت به عمل دوتایی ضرب، حاصل عبارت ‎$ ‌‌‌‎\frac{ac}{bd} ‌‎$‌‌‌‎ است که خود یک عدد گویا است‏، پس نسبت به ضرب هم بسته خواهد بود.

۲. می توان به راحتی بیان نمود که $(Q , +)$ یک گروه آبلی است.

۳. همچنین می توان دید که $(Q , .)$‏ هم یک گروه آبلی است.

۴. برای اتمام اثبات این موضوع که $(Q , + , .)$‏ یک میدان است، کافی است پخشپذیر بودن ‎‏ $(Q , + , .)$ را نشان دهیم.

‌‎$ ‌‎\forall ‌‎\frac{a}{b} , ‌‌‌‎\frac{c}{d} , ‌‌‌‎\frac{e}{f} ,‎ ‎\in Q‎ ‌‎\longrightarrow ‌‎\frac{a}{b} .‎ ‎(‎\frac{c}{d} + ‌‌‌‎\frac{e}{f}) = ‌‌‌‎\frac{a}{b} .‎ ( ‌‌‎\frac{cf + ed}{df} )‎ = ‌‌‌‎\frac{acf + aed}{bdf‎}‎ =‎ ‎ ‎\frac{ac}{bd} + ‎\frac{ae}{bf} = ‌‌‌‎\frac{a}{b} . ‌‌‌‎\frac{c}{d} + ‌‌‎\frac{a}{b} . ‌‌‌‎\frac{e}{f}‌‏ ‌‌‎$‌‎

‏لذا ‎‏$(Q , + , .)$‏ یک میدان می‌باشد.

تمرین. آیا مجموعه اعداد مختلط همراه با دو عمل دوتایی جمع و ضرب تعریف شده به صورت زیر تشکیل یک میدان می‌دهد؟

‎$ ‌‌‌‎\forall ‎a+bi ,‎ ‎c+di ‎\in C‎ ‌‎\longrightarrow‎ ‎(a+bi)(c+di) =‎ ‎(ac-bd) +‎ ‎(bc +‎ ‎ad)i ‌‎$ ‌‎

‎$ ‌‌‌‎\forall ‎a+bi ,‎ ‎c+di ‎\in C‎ ‌‎\longrightarrow‎ ‎(a+bi)+(c+di) =‎ ‎(a+c) + ‎i‌‎(b+d) ‌‎$