گروه آبلی

گروه آبلی: گروه $G$ همراه با عمل دوتایی * یک گروه آبلی گوییم هرگاه عمل دوتایی جابه‌جایی باشد یعنی در شرط زیر صدق کند

 $a,b \in G$ داشته باشیم:

$ a*b = b*a$

مثال ۱. نشان دهید که مجموعه $\mathbb{Z}$ نسبت به عمل دوتایی جمع یک گروه آبلی است.

ابتدا نشان می دهیم مجموعه $\mathbb{Z}$ نسبت به عمل دوتایی جمع یک گروه است، زیرا در شرایط زیر صدق مي‌کند:

۱. به ازای هر $a,b \in \mathbb{Z} $ بگیریم، مجموع دو عدد صحیح، عددی صحیح است. لذا $ a+b \in \mathbb{Z}$ می‌باشد.

۲. به ازای هر $a,b,c \in \mathbb{Z} $ بگیریم، خاصیت شرکت پذیری بر روی اعداد صحیح برقرار است، یعنی داریم:

$ (a+b)+c = a+(b+c)$

۳. عضوی چون صفر بر روی مجموعه $\mathbb{Z}$ موجود است، به قسمی که برای هر عضو $ a \in \mathbb{Z}$ بگیریم، داریم:

$a+0 = 0+a =a $

۴. به ازای هر عضو $ a \in \mathbb{Z}$ بگیریم، عضوی چون $ -a \in \mathbb{Z} $ موجود است، به قسمی که داریم:

$a+(-a) = (-a)+a = 0$

لذا با توجه به شرایط بالا، مجموعه $\mathbb{Z}$ نسبت به عمل دوتایی جمع یک گروه است. حال برای اثبات آبلی بودن این گروه برای هر $a,b \in \mathbb{Z}$ داریم:

$a+b=b+a$

پس شرط پنجم و جابجایی بودن عمل دوتایی نیز برقرار است لذا گروه آبلی است.

تمرین ۱. آیا مجموعه ماتریس‌های $ 2 \times 2 $ همراه با عمل دوتایی ضرب ماتریسی یک گروه آبلی است؟

تمرین ۲. مجموعه $ G = \{ a^{n} | n \in \mathbb{Z} \} $ که در آن $a \in \mathbb{Z} $ ثابت است، را در نظر بگیرید. عمل دوتایی را بر روی این مجموعه به شکل زیر تعریف می‌کنیم:

$ \forall n,m \in \mathbb{Z},      a^{n} * a^{m} = a^{n+m}$

آیا این مجموعه همراه با این عمل دوتایی یک گروه آبلی است؟

تمرین ۳. آیا مجموعه $ G = \{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} | a,b,c,d \in \mathbb{R} \} $ همراه با عمل دوتایی جمع ماتریس‌ها یک گروه آبلی است؟