معادله لاگرانژ: دسته سوم معادلات خطی شدنی

معادله لاگرانژ

هر معادله ديفرانسيل به صورت

يک معادله‌ي لاگرانژ ناميده مي شود.

براي حل معادلات لاگرانژ ، از تغيير متغير استفاده مي کنيم. بنابراين

معادله ي لاگرانژ است.

در حالت خاصي که باشد، معادله ي لاگرانژ به معادله ي کلرو تبديل مي شود.

چگونگي حل يک معادله ي لاگرانژ :

با فرض اينکه موجود باشد ، از معادله ي نسبت به x مشتق مي گيريم :

براي معادله ي دو حالت زير را در نظر مي گيريم :

حالت اول : به ازاي مقادير ِ ثابتي از p ، معادله ي صفر است . مثلا ً اگر ، آنگاه و در اين صورت . پس دو طرف تساوي صفر است.

براي به دست آوردن جواب متناظر ، را در معادله ي قرار مي دهيم :

که اين معادله ، يک خط راست خواهد بود و جواب غير عادي معادله ي است زيرا جواب عمومي آن در حالت دوم به دست مي آيد.

حالت دوم : در اين حالت فرض کنيم . بنابراين معادله ي به صورت زير خواهد شد :

با دقت در معادله ي در مي يابيم يک معادله ي خطي است که در آن x تابعي از p است. با حل معادله ي ، تابعي مانند به دست مي آيد که آن را در معادله ي قرار داده و تابع y را بر حسب x به دست مي آوريم. تابع به دست آمده جواب عمومي معادله ي لاگرانژ خواهد بود.

به مثال زير دقت کنيد تا معادله ي لاگرانژ را بهتر درک کنيد و عملا ً با چگونگي حل يک معادله ي لاگرانژ آشنا شويد.

مثال 22.2 : معادله ي لاگرانژ را حل کنيد .

حل : قرار مي دهيم و از معادله نسبت به x مشتق مي گيريم :

اکنون دو حالت داريم :

حالت اول: . پس p=1 و y = x + 1 جواب غير عادي معادله است.

حالت دوم: . پس :

معادله ي يک معادله ي خطي مرتبه ي اول است . عامل انتگرال ساز را يافته و جواب عمومي را مي يابيم :

که .

اکنون با توجه به تساوي هاي و ، جواب عمومي معادله ي اصلي به صورت زير خواهد بود :