معادله جداپذیر

شکل کلي يک معادله ديفرانسيل جداپذير اين گونه است:

يا

که در آن ها تابعي از x و تابعي از y است.

شکل استاندارد معادله ديفرانسيل جداپذیر نيز اين گونه است:

که در اين حالت ِ معادله، متغير هاي x و y ، از يکديگر جدا شده اند. يعني عبارات ِ شامل x در يک سمت علامت تساوي و عبارات شامل y در سمت ديگر آن آمده اند. به همين دليل است که اين معادلات را معادلات جداپذير مي گويند.

 

[tabs ] [tab_item title="روش حل" ]

روش حل معادلات جداپذیر

حل اين معادلات بسيار ساده است. کافي است از عبارات شامل x ، نسبت به x و از عبارات شامل y ، نسبت به y انتگرال بگيريم.

پس جواب عمومي معادله جداپذير استاندارد اين گونه است :

 

[/tab_item] [tab_item title="مثال‌ 1" ]

مثال 1.2: معادله ي را حل کنيد.

حل : ابتدا بررسي مي کنيم آيا اين معادله جداپذير است يا خير؟ اگر بتوانيم آن را به صورت استاندارد جداپذير در آوريم، معادله جداپذير است.

پس معادله جداپذير است و جواب عمومي آن به صورت زير است:

چون c عدد ثابت است پس نيز ثابت است و مي توان آن را در نظر گرفت. پس جواب عمومي معادله ي مورد نظر است.

 

[/tab_item] [tab_item title="اثبات جواب عمومی"]

اثبات جواب عمومی :

براي اينکه ثابت کنيم عبارت ، جواب عمومي عبارت است، اينگونه عمل مي کنيم:

با اختيار تابع ، معادله ي به صورت زير در مي آيد:

اکنون اگر جواب معادله ديفرانسيل باشد داريم:

فرض کنيم q يک تابع اوليه براي h باشد يعني . در اين صورت داريم:

سمت چپ تساوي بالا، مشتق ِ تابع مرکب است . پس داريم:

اما . پس

و

که اين همان معادله ي است.

[/tab_item] [tab_item title="مثال‌ 2" ]

مثال 2.2: تحقيق کنيد آيا معادله ي ، جداپذير است يا خير سپس در صورتي که معادله جداپذير است، جواب عمومي آن را بيابيد :

حل :

بنابراين معادله جداپذير است. اکنون کافي است از طرفين انتگرال بگيريم:

که با استفاده از تکنيک هاي انتگرال گيري، جواب انتگرال هاي بالا به صورت زير خواهد بود :

که اين جواب عمومي معادله ي داده شده است.

[/tab_item] [tab_item title="مثال‌ 3" ]

مثال 3.2: معادله ديفرانسيل جداپذير را حل کنيد.

حل: شکل استاندارد اين معادله به صورت است. بنابراين جواب عمومي آن به صورت است. اما قابل محاسبه نيست و جواب عمومي به همين شکل باقي مي ماند.

[/tab_item] [/tabs]