فضای ضرب داخلی

تعریف فضای ضرب داخلی: فرض کنید که $V$ یک فضای برداری بر روی میدان $F$ باشد. تابع زیر را بر روی این فضای برداری تعریف می‌کنیم:

$<. , .> : V \times V \rightarrow F$

که در شرایط زیر صدق می‌کند:

۱. به ازای هر $ v \in V$ می‌گیریم:

 $<v , v> \geq 0$

۲. اگر $ v,u\in V$ باشد و هرگاه اسکالر $a \in F$ می‌گیریم، داریم:

$<au , v> = a<u , v>$

۳. برای هر $u,v,w \in V$ می‌گیریم، داریم:

$ <u+v , w> = <u , w> + <v , w>$

۴. برای هر $u \in V$ می‌گیریم داریم، اگر $<u,u> = 0$ است و اگر تنها اگر $ u=0$ باشد.

در اینصورت این فضای برداری همراه با شریط بالا یک فضای ضرب داخلی است. 

مثال ۱. فرض کنید $V$  فضای برداری تمام توابع پیوسته حقیقی بر روی بازه $[-1,1]$ باشد. ثابت کنید که این فضای برداری همراه با تابع زیر یک فضای ضرب داخلی است.

$<. , .> = v \times v \Longrightarrow \mathbb{R}$

$<f , g> =\int_{-1}^{1} f(x)g(x)dx $

برای اثبات این موضوع که این فضا یک فضای ضرب داخلی است، باید ثابت کنیم که تابع مورد نظر یک ضرب داخلی است. لذا داریم:

۱. برای هر $ f(x) \in V $ می‌گیریم، داریم:

$<f(x) , f(x)> = \int_{-1}^{1} f(x)f(x)dx = \int_{-1}^{1} f(x)^2 dx $

که این مقدار انتگرال همواره بزرگتر مساوی صفر خواهد بود.

۲ .برای هر $f(x),g(x),h(x) \in V$ می‌گیریم، داریم:

$<f(x) + g(x) , h(x)>=\int_{-1}^{1} (f(x)+g(x))h(x)dx = \int_{-1}^{1} (f(x)h(x) + g(x) h(x)) dx = \int_{-1}^{1} f(x) h(x) dx + \int_{-1}^{1} g(x)h(x),d(x) = <f(x) , h(x)> + <g(x) , h(x)> $

۳ .برای هر $f(x),g(x) \in V$ و $\lambda \in \mathbb{R}$ بگیریم، داریم:

$<\lambda f(x),g(x)> = \int_{-1}^{1} \lambda f(x) g(x) dx = \lambda \int_{-1}^{1} f(x) g(x) dx = \lambda <f(x) , g(x)>$

۴ .برای هر $f(x),g(x)(n) \in V$ می‌گیریم، داریم:

$<f(x),g(x)> = \int_{-1}^{1} f(x) g(x) dx = <g(x) , f(x)>$

چون این توابع حقیقی مقدار هستند، همواره رابطه بالا برقرار خواهد بود.

ویژگی فضای ضرب داخلی: ویژگی‌های اساسی که بر روی فضای ضرب داخلی برقرارند عبارتند از:

فرض کنید که $u \in V$ باشد و $\lambda \in F$ یک اسکالر باشد. لذا داریم:

۱. برای هر $ u \in V$ داریم:

$<0 , u> = 0$

۲. برای هر $ u \in V$ می‌گیریم، داریم:

 $ <u , 0> =0$

۳. برای هر $ u,v,w \in V$ می‌گیریم، داریم:

 $ <u , v+w> = <u , v> + <u , w>$

۴. برای هر $ u,v \in V$ و $ \lambda \in F$ می‌گیریم، داریم:

 $<u , \lambda w> = \overline{\lambda}<u , w> $

تمرین ۱. ویژگی‌های ۱ تا ۴ را بر روی فضای ضرب داخلی ثابت کنید.