دو بردار متعامد

تعریف دو بردار متعامد: فرض کنید که x و y دو بردار در فضای ضرب داخلی  $V$ باشند. دو بردار x و y را متعامد گویند، هرگاه ضرب داخلی بین این دو بردار برابر صفر شود، یعنی

$<x,y> = 0$

وقتی دو بردار با یکدیگر متعامد هستند، آن را با نماد $x \bot y$ نمایش می‌دهند.

مثال ۱. آیا دو بردار $ (0,5,1) $ و $ (1,0,0)$ متعامد هستند؟

برای اثبات تعامد بین این دو بردار در فضای $ \mathbb{R}^3$ به گونه زیر عمل می‌کنیم:

در ابتدا ضرب داخلی تعریف شده بر فضای $\mathbb{R}^3$ را برای دو بردار $a=(a_1 , a_2 , a_3)$ و $b=(b_1 , b_2, b_3)$ به صورت زیر بیان می‌کنیم:

$<a , b>= a_1 . b_1 + a_2 . b_2 + a_3 . b_3$

با توجه به تعریف ضرب داخلی شرط متعامد بودن دو بردار را بررسی می‌کنیم. لذا داریم:

$(1,0,0).(0,5,1) = 1 \times 0 + 0 \times 5 + 0 \times 1$

در نتیجه ضرب داخلی این دو بردار صفر است. لذا این دو بردار متعامد یا عمود بر هم هستند.

مثال ۲. برای اینکه دو بردار $(x^2 , -2 , 0) $ و $ (1 , x , 5)$ متعامد باشند. $x$ چه مقادیری را می‌تواند شامل شود؟

چون دو بردار متعامد هستند، داریم:

$(x^2 , -2 , 0) . (1 , x , 5) = x^2 -2x + 0 \times 5 = 0 \rightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow \begin{cases}x = 0\\ x = -2\end{cases}$

به ازای هر دو مقدار این دو بردار متعامد خواهند شد.

تمرین ۱. در چه شرایطی برای $x$ دو بردار $( x,1, 5x+1) , (2x , 0 , \frac{1}{5})$ متعامد هستند.

تمرین ۲. در چه شرایطی دو بردار $ (x^2 , 1, ,1, 0) $ و $ (x , 2x , 5, 0) $ متعامد خواهند شد.