استقلال خطی بردارها

استقلال خطی: فرض کنید که مجموعه $ A = \{ v_1 , ... , v_k \}$ یک زیرمجموعه از فضای برداری $v$ بر روی میدان $F$ باشد. در اینصورت این  مجموعه از بردارها را مستقل خطی گوییم، اگر به ازای هر اسکالر $ a_1 , ... , a_k \in F$ ، از تساوی 

$ a_1 v_1 + ... + a_{k}v_{k} =0$

نتیجه بگیریم که تمامی اسکالرهای $ a_1 , ... , a_k \in F$ مساوی صفر هستند. 

در واقع این مفهوم بیان می‌کند که بردار صفر را نمی‌توان به صورت ترکیب خطی دیگر بردارها یا ضرایب ناصفر، نمایش داد.

مثال ۱. آیا مجموعه $A=\{\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right) \}$ مستقل خطی است؟

برای اثبات مستقل خطی بودن بردارهای مجموعه $A$ کافی است، ترکیب خطی از بردار صفر را به ازای هر اسکالر $a_1 , a_2 $ به صورت زیر در نظر بگیریم:

$ a_1\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right) + a_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right) $

$\Rightarrow  a_1 = 0 $
$\Rightarrow  2a_1 + a_2 = 0 \Rightarrow a_2 =0 $

پس در نتیجه با توجه به تعریف مستقل خطی بودن، مجموعه $A$، یک مجموعه مستقل خطی خواهد بود. زیرا هر ترکیب خطی برای بردار صفر توسط بردارهای مجموعه A نوشته شود، ضرایب آن مساوی صفر خواهد شد.

تمرین ۱. آیا مجموعه $A = \{ \left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\ 1 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}1\\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \}$ یک مجموعه مستقل خطی است؟

تمرین ۲. کدامیک از مجموعههای زیر مستقل خطی و کدامیک وابسته خطی هستند؟

۱. $A = \{ \left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}6\\ 7\end{array}\right) \}$

۲. $B = \{ \left(\begin{array}{c}1\\ 5 \\ 1 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}7\\ 8 \\ 9 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\ 1\end{array}\right) \}$

۳. $C = \{ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}3\\ 15\end{array}\right) \}$

۴. $D = \{ \left(\begin{array}{c}5\\ 7 \\ 8\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}9\\ 10 \\ 1\end{array}\right) \}$