نگاشت خطی (تبدیل خطی)

تعریف نگاشت خطی: فرض کنید که $W$  و $V$ دو فضای برداری بر روی میدان یکسان $F$ باشند. تابع $f:V \Rightarrow W$ را یک نگاشت خطی یا تبدیل خطی گویند، هرگاه به ازای هر $u,v \in V$ و برای هر اسکالر $c \in F$ که می‌گیریم، داشته باشیم:

۱. $f(u+v) = f(u) + f(v)$

۲. $f(cu) = cf(u)$

یا به ازای هر $u,v \in V$ و برای هر اسکالر $c \in F$ که می‌گیریم، می‌توان به طور خلاصه بیان نمود:

$f(cu+v) = cf(u)+f(v)$

نکته‌ای که باید در این تعریف مورد توجه قرار بگیرد، این است که یک تبدیل خطی بر روی فضاهای برداری با میدان یکسان قابل تعریف است. پس داریم، هرگاه $f$ یک تبدیل خطی از فضای برداری $V$ بر روی میدان $F$ به فضای برداری $W$ بر روی میدان $K$ باشد، حتما $K$ باید زیرمیدانی از $F$ باشد تا $f$ بتواند یک تبدیل خطی را تشکیل بدهد.

مثال ۱. فرض کنید که تابع $T:\mathbb{R}^2\Rightarrow \mathbb{R}^3$ با ضابطه‌ای به صورت  $T(x,y) = (x, x+y, 2x)$ باشد. آیا این  تابع یک تبدیل خطی است.

برای اثبات این موضوع که  تابع $T$ یک تبدیل خطی است، به گونه زیر عمل می‌کنیم:

به ازای هر $b=(x_2,y_2) \in \mathbb{R}^2$ و $ a=(x_1,y_1) \in \mathbb{R}^2$ و اسکالر $c \in \mathbb{R}$ می‌گیریم، داریم:

$T(ca+b) = T(c(x_1, y_1)+(x_2, y_2)) \\ =T(cx_1+x_2 , cy_1+y_2) = (cx_1+x_2, cx_1+x_2 +cy_1+y_2, 2cx_1+x_2) \\ = (cx_1, cx_1+cy_1, 2cx_1)+(x_2, x_2+y_2, 2x_2) = cT(x_1,y_1)+T(x_2,y_2)$

پس با توجه به عبارت بالا می‌توان گفت که تابع $T(x,y)$ یک تبدیل خطی را تشکیل می‌دهد.

مثال ۲. فرض کنید که $V$ یک فضای برداری بر روی میدان $F$ باشد. در این صورت تابع به شکل زیر، آیا یک تبدیل خطی است یا خیر؟

 $T:V \times V \rightarrow F$

$Tv = 1$

برای اینکه نشان دهیم تابع بالا یک تبدیل خطی است، کافیست ثابت کنیم:

$\forall x, y \in V,\:\: \forall a \in F,\:\;  T(ax+y)= aT(x)+T(y)$

همانطور که از ضابطه بالا بر می‌آید داریم:

 $T(ax+y) =1$ 

در حالیکه داریم:

$aT(x) + T(y) = a \times 1+1 = a+1$

که با توجه به اینکه $T(ax+y) \neq aT(x)+T(y)$ شده است. لذا $T$ یک تبدیل خطی نمی‌باشد.

تمرین ۱. فرض کنید که $V$  فضای برداری تمام توابع چندجمله‌ای از مرتبه $n$ باشد. در این صورت عمل مشتق‌گیری بر روی این فضای برداری یک تبدیل خطی است.

تمرین ۲. فرض کنید که $V$  فضای برداری تمام توابع حقیقی مقدار و پیوسته باشد. در اینصورت تابع زیر آیا یک تبدیل خطی است؟

$f(x) \in V, \:\: T(f(x)) = \int_{0}^{x} f(t)dt$

تمرین ۳. آیا تابع زیر یک تبدیل خطی است؟

$T: \mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R}^3$

$T(x,y) = (x^2, 2y, x-y)$

تمرین ۴. فرض کنید که $T: \mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R}^3$ یک تبدیل خطی باشد بطوریکه $T(1,2) = (1,0,3)$ و $T(1,5) = (0,1,2)$ باشند. در این صورت $T(0,2)$ را محاسبه کنید.

مثال ۳. فرض کنید $T: \mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R}^2$ یک تبدیل خطی و $T(3,0) = (1,2) $ و $ T(2,1) = (5,1)$ باشند. در اینصورت مقدار عبارت $T(2,3)$ را بدست آورید.

برای بدست آوردن $T(2,3)$ به گونه زیر عمل می‌کنیم:

۱. در ابتدا $(2,3)$ را به صورت ترکیب خطی از $(3,0)$ و $(2,1)$ می‌نویسیم. برای این موضوع مقدار $\beta$ و $ \alpha$ای موجود هستند به قسمی که داریم:

$(2,3) = \alpha(2,1) +\beta (3,0)$

لذا دستگاه زیر را به دست می‌آوریم:

$\begin{cases}2 \alpha + 3 \beta = 2\\ \alpha = 3\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}\beta = \frac{-4}{3}\\ \alpha = 3\end{cases}$

پس داریم:

$(2,3) = 3(2,1) - \frac{-4}{3}(3,0)$

از آنجا که $T$ یک تبدیل خطی است، داریم:

$T(2,3) = T(3(2,1) - \frac{4}{3}(3,0)) = 3T(2,1) - \frac{4}{3} T(3,0) = 3(5,1) - \frac{4}{3}(1,2) = (15 - \frac{4}{3} , 3- \frac{8}{3} = (\frac{41}{3} , \frac{1}{3})$

پس داریم:

$T(2,3) = (\frac{41}{3} , \frac{1}{3})$