جمع ماتریس

تعریف جمع‎ دو ماتریس: فرض کنیم A‎ و ‎B‌‌‎ دو ماتریس $m \times n$ باشند. حاصلجمع آنها را با نماد ‎A+B‎ نشان می‌دهیم، و ماتریسی ‎$m ‌‌‌‎\times n$‎ای چون C‌‌‎ است که درایه‌های آن از مجموع درایه‌های متناظر دو ماتریس A و B به دست می آید، به عبارت دیگر، فرض کنیم ‎$‎ A‎ =‎ ‎[a_{ij}] ‌‌‎$‌‌‌‌‏ و ‎$ ‎B‌‎ =‎ ‎[b_{ij}] $‌‏ و ‎$ ‎C‌‎ =‎ ‎[c_{ij}] $‌‏ سه ماتریس هم مرتبه باشند‏، در اینصورت ‏زمانی که ماتریس C حاصلجمع دو ماتریس A و B باشد، رابطه زیر بین درایه‌های آنها برقرار خواهد شد:

‎$‌‎ ‎C_{ij} =‎ ‎a_{ij} +‎ ‎b_{ij}‎ ‎\Longrightarrow 1 ‌‌‎\leq i‎ ‎\leq m‎ ,‎ 1‎ ‎\leq  j‎ ‎\leq n ‌‌‌‎$‌‌‎

نکته ۱. برای اینکه بتوانیم دو ماتریس را با یکدیگر جمع نماییم، حتما باید آن دو ماتریس هم مرتبه باشند.

نکته 2. جمع ماتریس ها را می توان به چندین ماتریس نیز تعمیم داد. به این صورت که مولفه های نظیر با هم جمع می کنیم.

مثال ۱. مجموع ماتریس‌های زیر را بدست آورید.

‎۱. $ A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 7 \\ 3 & 5 & 8 \end{bmatrix} , ‎B‎ = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 8 \end{bmatrix}‎ $‌

 ⇒‎ $ A+B= \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 7+3 \\ 3+5 & 5+7 & 8+8 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2& 4& &10\\ 8 &12 &16\end{bmatrix}$

‎۲. $ A = \begin{bmatrix}1 & 5 \\ 7 & 6 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix}4 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix}5 & 8 \\ 9 & 1 \end{bmatrix}$‌‎

‎ ⇒‎ $A+B+C=\begin{bmatrix} 1+4+5&5+0+8\\ 7+1+9 &6+2+1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 17 & 9 \end{bmatrix}$

۳. $ A‎ = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \end{bmatrix} ,‎ B‎ =‎ ‎ \begin{bmatrix}5 & 7 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} ‌‎$‌‎

‏چون دو ماتریس ‎A‌‏ و ‎B‌‏ هم مرتبه نمی‌باشند، با توجه به نکته ۱، نمی‌توان ‎A+B‌‏ را بدست آورد.

تمرین ۱. مجموع ماتریس‌های زیر را بدست آورید.

‎۱. $‎ A‎ =‎ ‎ \begin{bmatrix}5 & 7x \\ 2xy & 5y \end{bmatrix} , B‎ =‎ ‎ \begin{bmatrix}0 & 17x+15y \\ 2x-5y & 15y \end{bmatrix} ‌‎$‌‎

۲. $ A‎ = \begin{bmatrix}a & ax & axy\\ 1 & 2&3\\0 &10&-1\end{bmatrix} ,‎ B‎ =‎ ‎ \begin{bmatrix}-a & ax-ay & 5 \\ 8 & 9 &10 \end{bmatrix} ‌‎$‌‎