ماتریس پوچ توان

تعریف ماتریس پوچ توان: فرض کنید ‎A‌‏ یک ماتریس ‌‎$n\times n ‌‌‌‎$‌‎ ‏باشد. ماتریس ‎A‌‏ را پوچ توان گویند، هرگاه عبارت زیر برقرار باشد:

$\exists k\in \mathbb{N}, A^k=0 , A^{k-1} \neq 0$

عبارت ریاضی بالا بیان می‌کند که k کوچکترین عدد طبیعی است که به ازای آن ماتریس A به توان آن عدد مساوی ماتریس صفر خواهد شد. در اینصورت ماتریس A را پوچ توان از مرتبه k گویند.

تذکر ۱. دقت کنید در صورتی که ماتریس ‎A‌‏ پوچ توان باشد، همواره اندیس ماتریس پوچ توان کمتر از تعداد سطرها یا ستون‌های ماتریس خواهد بود. یعنی برای ماتریس $n\times n$ که از مرتبه k پوچ توان است، داریم: ‎$‎ k‎ ‎\leq n ‌‌‎$‌‌‌‏.

مثال ۱. آیا ماتریس‌های زیر ماتریسی پوچ توان است؟

۱. $A=\begin{bmatrix}0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

با توحه به تعریف ماتریس پوچ توان، کافی است که ماتریس A را در خودش آنقدر ضرب کنیم که برای اولین بار، نتیجه این حاصلضرب‌ها صفر شود. برای این منظور به صورت زیر عمل می‌کنیم:

$A*A= \begin{bmatrix} 0 &2\\ 0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&2 \\0 & 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}$

در نتیجه این ماتریس، ماتریس پوچ توان از مرتبه ۲ خواهد شد.

۲. $A=\begin{bmatrix} 0 & 0&2\\0&0&3\\0&0&0\\ \end{bmatrix}$

برای اینکه نشان دهیم این ماتریس، ماتریسی پوچ توان است یا خیر. کافی است به گونه‌ای که برای ماتریس بالا اقدام نمودیم عمل کنیم. حال ماتریس A را در خودش ضرب کنید:

$A*A=\begin{bmatrix} 0&0&3\\ 0&0&2\\ 0&0&0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&0&3\\0&0&2\\0&0&0\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 &0&0 \\ 0&0&0 \\0&0&0\\ \end{bmatrix}$

در نتیجه این ماتریس هم پوچ توان از مرتبه 2 خواهد شد.

تمرین ۱. کدامیک از ماتریسهای زیر پوچ توان است. 

۱. $A=\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\\ \end{bmatrix}$

۲. $A=\begin{bmatrix}0&-3&2\\0&0&6\\0&0&4\\ \end{bmatrix}$

۳. $A=\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\5&3&0&0\\8&6&5&0\\ \end{bmatrix}$