تابع یک به یک، روش تشخیص، مثال و تمرین

تابع یک به یک: فرض کنید f تابعی از مجموعه A به مجموعه B باشد. هرگاه تصویر هر عضو از مجموعه A تنها یک عضو منحصر به فرد در مجموعه B باشد. در اینصورت  تابع f را یک به یک گویند. این تعریف را می‌توان با استفاده از نمادهای ریاضی به گونه زیر بیان نمود:

$\forall a , b\in A, \:\: if\: \: f(a) =f(b)\rightarrow a=b$

در واقع عبارت فوق بیان می‌کند، هر زمان تصویر تابع (خروجی تابع) یک به یک f در دو نقطه از دامنه مساوی باشد حتماً آن دو نقطه دارای مقدار یکسان خواهند بود.

همچنین به طور معادل می‌توان عبارت زیر را داشت:

$ \forall a , b\in A, \:\: if\: \: a \neq b \rightarrow f(a) \neq f(b) $

  عبارت فوق بیان می‌کند که دو نقطه متمایز در دامنه تابع یک به یک f حتماً دارای تصاویر متمایزی در برد تابع f خواهد بود. این موضوع را میتوان به صورت تصویری زیر بیان نمود.

گاهی اوقات یک به یک بودن یک تابع را با نماد 1-1 نشان می‌دهند. در اینجا نیز می‌توان بیان نمود که تصویر معکوس یک تابع یک به یک حتما یک تابع خواهد بود، زیرا به دلیل اینکه f یک تابع می‌باشد، هیچ دو زوج مرتبی از تابع مورد نظر دارای مؤلفه اول یکسان نمی‌باشند و همچنین به علت یک به یک بودن هیچکدام دارای مولفه دوم یکسان نیز نخواهند بود. 

تشخیص یک به یک بودن تابع از روی نمودار: یک به یک بودن تابع را می‌توان از طریق نمودار آن نیز بررسی نمود. در واقع زمانی که به ازای هر خط موازی با محور xها، نمودار تابع f تنها فقط در یک نقطه قطع گردد، در اینصورت تابع f یک به یک خواهد بود. برای مثال شکل‌های زیر را نگاه کنید. در نمودارهای $f(x)$ و $g(x)$ زیر، به ازای هر خطی که موازی با محور xها رسم شود (خط صورتی در نمودار f و خط نارنجی رنگ در نمودار g )، نمودار در بیش از یک نقطه قطع می‌شود.

 اما در نمودار $h(x)$ به ازای هر خطی که موازی با محور xها (خط صورتی رنگ) رسم کنیم، نمودار تابع را حداکثر در یک تقطه قطع خواهد کرد.

یادآوری تشخیص تابع بودن نمودار: هر گاه به ازای هر خط موازی با محور yها، نمودار حداکثر در یک نقطه قطع شود، آن نمودار تابع خواهد بود. در نمودارهای بالا f و h تابع  هستند ولی g تابع نمی‌باشد. 

مثال ۱. یک به یک بودن تابع زیر را محاسبه کنید. 

$f(x) =x+1$

برای محاسبه یک به یک بودن تابع f با توجه به یکی از تعریف‌های بالا می‌توان اقدام نمود. برای این منظور راه حل زیر را باید طی کنید. 

$\forall x_1 , x_2 \in D_f,\:\: if\:\: f(x_1) =f(x_2) \rightarrow x_1  = x_2$

⇒ $f(x_1) =x_1 +1 =x_2 +1 =f(x_2)$ ⇒ $x_1 =x_2$

در نتیجه با بدست آمدن این موضوع که $ x_1 =x_2 $ توانستیم یک به یک بودن تابع f را با توجه به تعریف مورد محاسبه قرار دهیم. 

مثال ۲. در چه بازه‌ای از دامنه، تابع زیر یک به یک و در چه بازه‌ای غیر یک به یک خواهد بود؟

$g(x) =x^2$

برای بررسی یک به یک بودن تابع زیر دوباره از روی تعریف اقدام می‌کنیم، لذا داریم:

$\forall x_1 , x_2 \in D_g,\:\: if\:\: g(x_1) =g(x_2) \rightarrow x_1 = x_2$

 $g(x_1) =x_1^2 =x_2^2 =g(x_2) ⇒ x_1 = ± x_2 $ ⇒   

اکنون با توجه به تعریف نتیجه شد، که g تابعی  یک به یک نمی‌باشد، زیرا به ازای $g(x_1)=g(x_2)$ به جای اینکه $x_1 = x_2$ باشد، داریم $x_1 = x_2$. 

برای اینکه تابع g تابعی یک به یک باشد کافی است که بازه دامنه f را به گونه‌ای کوچک کنیم که شامل هر دو عضو $± x_2$ نباشد. اکنون اگر بازه این دامنه را از $\mathcal{R}$  به بازه‌ی $‎‏‎[0 , ‎+\infty‎)‎$ یا $(-‎\infty ‎, ‎0‎]‎$ تبدیل کنیم چون فقط یکی از دو مقدار $± x_2$  در حدود دامنه خواهد بود لذا تابع g یک به یک خواهد بود.

تمرین ۱. بررسی کنید کدامیک از توابع زیر یک به یک و کدامیک غیر یک به یک می‌باشند.

1. $f(x) = x^3 +2$
2. $g(x) =\frac{x+1}{x+3}$
3. $ h(x)=x^2+x $