چگونه سری مک‌لورن تابع sin (x^2) را محاسبه کنیم؟

چگونه سری مک‌لورن تابع $ \sin (x^2) $ را محاسبه کنیم؟

محاسبه سری مک‌لورن تابع $ \sin (x^2) $ از طریق تعریف سری مک‌لورن و محاسبه مشتقات هر مرحله، کار بسیار محاسباتی و زمان‌بر و است. بنابراین ما روش زیر را پیشنهاد می‌کنیم. آیا سری مک‌لورن تابع $ \sin x $‌ را می‌دانید؟ اگر نمی‌دانید ابتدا مطلب « چگونه سری مک‌لورن تابع sin (x) را محاسبه کنیم؟» را مشاهده کنید. 

روش محاسبه سری مک‌لورن تابع $ \sin (x^2) $:

برای محاسبه سری مک‌لورن تابع  $ \sin (x^2) $ ، از سری مک‌لورن تابع $ \sin x $ استفاده می‌کنیم. در این تابع تغییر متغیر $ x = t^2 $ را قرار می‌دهیم. بنابراین کافی است در سری مک‌لورن تابع $ \sin x $ ، به جای $ x $ ، قرار دهیم $ x^2 $ . بنابراین خواهیم داشت : 

$ \begin{align*} \sin (x^2) & = x^2 -\frac{(x^2)^{3}}{3!} +  \frac{(x^2)^{5}}{5!} - \frac{(x^2)^{7}}{7!} +\frac{(x^2)^{9}}{9!} - \cdots  \\ & = x^2 -\frac{x^{6}}{3!} +  \frac{x^{10}}{5!} - \frac{x^{14}}{7!} +\frac{x^{18}}{9!} - \cdots \\ & = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{4n + 2}}{(2n+1)!} \end{align*} $