میانترم مبانی ریاضیات محسن پرویزی 14/9/1381 فردسی مشهد

به نام خدا

اللهم صل علی محمد و آل محمد

نام آزمون : ميانترم مباني رياضيات

نام استاد : محسن پرويزي

تاريخ برگزاري : 14/9/1381

دانشگاه : فردوسي مشهد

دانشكده : علوم رياضي

رشته : رياضي

1. فرض کنيد يک گزاره ي مرکب شامل حداکثر n گزاره باشد، يک تابع ارزش براي به صورت زير تعريف مي شود : و براي هر n-تايي ، دقيقا ً ارزش گزاره ي است زماني که ارزش را قرار داده باشيم :

الف : تعداد توابع ارزش را بيابيد.

ب : ثابت کنيد هر تابع دلخواه به صورت تابع ارزش يک گزاره ي مرکب مي باشد.

2. اگر A و B دو مجموعه ي متناهي به ترتيب با n و m عنصر باشند :

الف : يک تابع يک به يک موجود است اگر و تنها اگر .

ب : يک تابع پوشا موجود است اگر و تنها اگر .

3. فرض کنيد معرف گزاره ي « x مذکر است » و معرف « x فرزند y است » باشند. گزاره ي زير را با نماد هاي رياضي بنويسيد، ارزش آن را مشخص کنيد و نقيض آن را بنويسيد.

« کسي هست که خواهر ِ برادر خود نيست »

4. ثابت کنيد اگرA و B دو زير مجموعه ي دلخواه از يک مجموعه مثل X باشند :

5. فرض کنيد يک خانواده از مجموعه ها و A مجموعه اي دلخواه باشد :

6. فرض کنيد يک تابع باشد، رابطه ي هم ارزي را روي X به صورت تعريف مي کنيم. ثابت کنيد f يک به يک است اگر و تنها اگر .

7. فرض کنيد . روي A رابطه ي R را به صورت زير تعريف مي کنيم : که همان رابطه ي سؤال 6 است.

الف : ثابت کنيد R يک رابطه ي هم ارزي است.

ب : کلاس هاي هم ارزي تابع ثابت و تابع هماني را بيابيد.

8. در رابطه ي ~ را به صورت تعريف مي کنيم. ثابت کنيد ~ يک رابطه ي هم ارزي است و کلاس هاي آن را به طريق هندسي نشان دهيد.

9. فرض کنيد يک مجموعه و . را همراه با عمل ( تفاضل متقارن ) در نظر بگيريد.

الف : اگر به قسمي باشند آنگاه A=B .

ب : روي رابطه ي o را به صورت زيرتعريف مي کنيم : . نشان دهيد o يک رابطه ي هم ارزي است که در آن .

10. مشخص کنيد که توابع معرفي شده در زير کداميک ازخواص يک به يک بودن و پوشا بودن را دارا هستند.

الف : هر عدد گويا را مي توان به صورت نوشت که تابع را با ضابطه در نظر بگيريد.

ب : ، که p يک عدد اول ِ ثابت است.

پ : مي دانيم هر را مي توان به صورت نامتناهي نوشت که هر يک رقم مي باشد. به عنوان مثال . تابع را با ضابطه ي در نظر بگيريد.

11. فرض کنيد يک تابع باشد که براي آن توابع موجود باشند که و . ثابت کنيد f وارون پذير است و .

12. اگر يک تابع باشد . دو تابع و را با ضابطه ي تعريف مي کنيم. کدام يک از خواص f را g و h دارا هستند.