اثبات: ابتدا فرض کنيم معادله ي کامل باشد، پس تابعي مانند f وجود دارد به طوري که شرايط برقرارند. از حساب ديفرانسيل و انتگرال به ياد داريم که چون M و N پيوسته اند، مشتقات جزئي مرتبه دوم زير با هم برابرند :

بنابراين

يا به عبارت ساده تر . پس اگر معادله کامل باشد، تساوي برقرار است.

اکنون فرض کنيم تساوي برقرار باشد، نشان مي دهيم معادله ي کامل است. يعني بايد تابع ثابت f را بيابيم. اين تابع بايد در تساوي هاي صدق کند. از نخستين ِ تساوي ِ آن داريم :

با اتگرال گيري نسبت به x ، تابع f محاسبه مي شود :

که ، ثابت انتگرال گيري ، تابعي از y است. اکنون تساوي دوم از تساوي هاي را بررسي مي کنيم . پس :

سپس با انتگرال گيري از نسبت به y ، تابع g به صورت زير خواهد بود:

که تابع زير انتگرال، بايد تابعي از y باشد، يعني بايد مشتق آن نسبت به x صفر شود. پس :

اما پس بايد داشته باشيم:

اما اين رابطه، فرض ما بود و از ابتدا درست فرض کرديم. پس تابع f که در رابطه ي بيان شد، جواب عمومي معادله است.

ضمن اثبات قضيه ي 1 ، يک روش براي حل معادله ديفرانسيل کامل بيان شد کهبه طور خلاصه اين گونه است:

اگر معادله ي کامل باشد، از نسبت به x انتگرال مي گيريم و ثابت انتگرال گيري را تابعي بر حسب y مانند در نظر مي گيريم. سپس از معادله ي به دست آمده، بر حسب y مشتق مي گيريم و آن را مساوي با قرار مي دهيم تا تابع به دست آيد.

همچنين مي توانيم از تابع نسبت به y انتگرال بگيريم وثابت انتگرال گيري را تابعي بر حسب x مانند در نظر بگيريم. سپس از معادله ي به دست آمده، برحسب x مشتق بگيريم و آن را مساوي با قرار دهيم تا به دست آيد.

مثال 12.2: ابتدا نشان دهيد معادله ديفرانسيل کامل است سپس جواب عمومي آن را محاسبه کنيد .

حل: در اين مثال و . پس معادله ي داده شده کامل است. براي به دست آوردن جواب عمومي از روشي که در اثبات قضيه ي 1 معرفي شد، استفادهمي کنيم :

و را به ترتيب زير به دست مي آوريم . مي دانيم بنابراين با قرار دادن مقادير N و داريم :

پس

. بنابراين

پس تابع f به صورت زير خواهد بود :

که اين جواب عمومي معادله ي داده شده است.