ویژگی‌‌های ماتریس‌های هرمیتی و هرمیتی کج

ویژگی‌‌های ماتریس‌های هرمیتی و هرمیتی کج

 در این مطلب سعی داریم ویژگی‌هایی که بر روی ماتریس‌های هرمیتی و هرمیتی کج را بررسی کنیم. 

ویژگی ۱. اگر A یک ماتریس مربعی از مرتبه $n \times n$ باشد. در اینصورت عبارات زیر را داریم: 

• ‌ماتریس $A+\overline{A^t}$ یک ماتریس هرمیتی است. زیرا داریم: 

$\overline{(A+ \overline{A^t})^t}= \overline{A^t + (\overline{A^t})^t}=\overline{A^t} + \overline{\overline{(A^t)^t}}= \overline{A^t} + \overline{\overline{A}}= \overline{A^t} + A$

در نتیجه ‌ماتریس A یک ماتریس هرمیتی است. 

• ‌ماتریس $A-\overline{A^t}$ یک ماتریس هرمیتی کج است. زیرا داریم: 

$\overline{(A-\overline{A^t})^t}= \overline{A^t - (\overline{A^t})^t}=\overline{A^t} - \overline{(\overline{A^t})^t}=\overline{A^t} - \overline{\overline{(A^t)^t}}=\overline{A^t} - \overline{\overline{A}}=\overline{A^t} - A=-(A-\overline{A^t})$

مثال ۱. فرض کنید که A یک  ماتریس مربعی به شکل زیر باشد. نشان دهید که $A+\overline{A^t}$  و $A- \overline{A^t}$ ماتریس هرمیتی و ماتریس هرمیتی کج می‌باشند.

$A=\begin{bmatrix}1&i\\0&2 \end{bmatrix}$

برای اینکه نشان دهیم ماتریسهای $A+\overline{A^t}$ و $A-\overline{A^t}$ ماتریس هرمیتی و ماتریس هرمیتی کج هستند، اینگونه عمل می‌کنیم:

 $A^t= \begin{bmatrix} 1&0\\i&2\end{bmatrix}$ ⇒ $\overline{A^t}=\begin{bmatrix}1&0\\-i&2\end{bmatrix}$ ⇒ $A+ \overline{A^t}=\begin{bmatrix}1&i\\0&2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1&0\\-i&2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2&i\\-i&4\end{bmatrix}=C$

حال نشان می‌دهیم که $A+\overline{A^t}$ هرمیتی است. لذا داریم:

$C^t =\begin{bmatrix}2&-i\\i&4\end{bmatrix}$ ⇒ $\overline{C^t}=\begin{bmatrix}2&i\\-i&4\end{bmatrix}=C$

لذا یک ماتریس هرمیتی است. 

حال ماتریس $A-\overline{A^t}$ را به دست می‌آوریم:

$A-\overline{A^t}=\begin{bmatrix}1&i\\0&2\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}1&0\\-i&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&i\\-i&4\end{bmatrix}=D$

بررسی می‌کنیم که ماتریس حاصل شده یک ماتریس هرمیتی کج است. پس داریم:

$D^t=\begin{bmatrix}2&-i\\i&4\end{bmatrix}$ ⇒ $\overline{D^t}=\begin{bmatrix}2&i\\-i&4\end{bmatrix}=D$

پس یک ماتریس هرمیتی کج است. 

ویژگی ۲. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه $n \times n$ با درایه‌های مختلط باشد. در اینصورت این ماتریس را می‌توان به شکل مجموع دو ماتریس هرمیتی $\frac{1}{2}(A + \overline{A^t})$ و ماتریس هرمیتی کج $\frac{1}{2}(A-\overline{A^t})$ نوشت. 

تمرین ۱. نشان دهید که ماتریسهای زیر را می‌توان برحسب مجموع دو ماتریس به شکل ویژگی ۲ بیان نمود. 

۱. $A=\begin{bmatrix}1&i&2\\3&i+1&5\\i&3&4\end{bmatrix}$

۲. $B=\begin{bmatrix}i&i+1\\2i+1&5i\end{bmatrix}$

ویژگی ۳. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه $n \times n$ باشد. در اینصورت داریم:

• اگر ماتریس A یک ماتریس هرمیتی باشد. آنگاه $\overline{A}$ یک ماتریس هرمیتی است. زیرا از اینکه A ماتریس هرمیتی است، داریم:

$\overline{A^t}=A$

در نتیجه $\overline{\overline{A}^t}= \overline{A}$. پس $\overline{A}$ یک ماتریس هرمیتی است. 

• اگر ماتریس A یک ماتریس هرمیتی کج باشد. آنگاه $\overline{A}$ یک ماتربس هرمیتی کج است. زیرا از اینکه A یک ماتریس هرمیتی است، داریم:

$\overline{A^t}= -A$

در نتیجه $\overline{\overline{A}^t}=-\overline{A}$. پس $\overline{A}$ یک ماتریس هرمیتی کج است .

تمرین ۲. نشان دهید که ماتریسهای $\overline{A}$  و $\overline{B}$ ماتریس‌های هرمیتی و هرمیتی کج است. 

• ۱. $A=\begin{bmatrix}1&i&0\\-i&2&-2i\\0&2i&3\end{bmatrix}$ 
• ۲. $B=\begin{bmatrix}i&1-i\\-1-i&3i\end{bmatrix}$

  ---

ویژگی ۴. فرض کنید که A یک ماتریس حقیقی و پادمتقارن یا مختلط و هرمیتی کج باشد. آنگاه $±iA$ یک ماتریس هرمیتی است. 

تمرین ۳. نشان دهید که ویژگی ۴ برقرار است.

 ویژگی ۵. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی مختلط از مرتبه $n\times n$ و هرمیتی باشد. در اینصورت ماتریسهای زیر هرمیتی هستند. 

$A+\overline{A^t}$      

 $A\overline{A^t}$   

  $\overline{A^t}A$

مثال ۲. فرض کنید که A یک ماتریس هرمیتی مختلط به شکل زیر باشد. ویژگی ۵ را بررسی کنید. 

$A=\begin{bmatrix}i&i+1\\2i&3i\end{bmatrix}$

ابتدا نشان می‌دهیم که $\overline{A^t}A$  یک ماتریس هرمیتی است. برای این موضوع داریم:

$A^t=\begin{bmatrix}i&2i\\i+1&3i\end{bmatrix}$ ⇒ $\overline{A^t}= \begin{bmatrix}-i&-2i\\-i+1&-3i\end{bmatrix}$

⇒ $\overline{A^t}A=\begin{bmatrix}-i&-2i\\-i+1&-3i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i&i+1\\2i&3i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+4&1-i+6\\1+i+6&1+1+9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&7-i\\7+i&11\end{bmatrix}=C$

که C یک ماتریس هرمیتی است. به عنوان تمرین ثابت کنید که $A\overline{A^t}$ و $A + \overline{A^t}$ ماتریس‌های هرمیتی هستند.

ویژگی ۶. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه $n \times n$ و هرمیتی باشد. در اینصورت A را می‌توان به شکل منحصر به فردی چون $B+iC$ نوشت که در آن B یک ماتریس متقارن و C یک ماتریس پادمتقارن حقیقی است. 

مثال ۳. فرض کنید که A یک ماتریس به شکل زیر باشد. نشان دهید ویژگی ۶ برقرار است. 

$A=\begin{bmatrix}2&i\\-i&3\end{bmatrix} $⇒ $A=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix} + i\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}=B+iC$

که در آن B یک  ماتریس متقارن و C یک ماتریس پادمتقارن است. 

ویژگی ۷. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه $n\times n$ و هرمیتی کج باشد. در اینصورت می‌توان  ماتریسهای B و C که منحصر به فرد هستند را به گونه‌ای یافت که $A=B+iC$ باشد، که در آن B ماتریس پادمتقارن و C ماتریس متقارن حقیقی است. 

تمرین ۴. با یک مثال ویژگی ۷ رانشان دهید.