ماتریس هرمیتی کج (چپ)

ماتریس هرمیتی کج (چپ) : فرض کنید که $A=[a_{ij}]$ یک ماتریس از مرتبه $n \times n$ بر روی مجموعه اعداد مختلط باشد. ماتریس A را هرمیتی چپ گویند، هرگاه داشته باشیم: 

$\overline{A^t}=-A$

این موضوع را می‌توان بر حسب رابطه‌ای بین درایه‌های ماتریس A به گونه زیر بیان نمود:

$\forall 1 \leq i , j \leq n, \: \:\: a_{ij}=-\overline{a_{ji}}$

مثال ۱. کدامیک از ماتریسهای زیر یک ماتریس هرمیتی چپ می‌باشد.

۱. $A=\begin{bmatrix} 2i&3+i\\-3-i&4i \end{bmatrix}$ 

برای اثبات هرمیتی چپ بودن ماتریس A کافیست ابتدا شرط ماتریس‌های هرمیتی چپ را بررسی کنیم. برای این موضوع داریم:

$A^t=\begin{bmatrix}2i&-3-i\\3+i&4i\end{bmatrix}$ ⇒ $\overline{A^t}=\begin{bmatrix}-2i&-3+i\\3-i&-4i\end{bmatrix}\neq -A$

پس در نتیجه ماتریس A یک ماتریس هرمیتی چپ نمی‌باشد.

۲. $B=\begin{bmatrix}i&0&i\\0&2i&-1\\i&1&3i\end{bmatrix}$

به طور مشابه داریم:

$B^t=\begin{bmatrix}i&0&i\\0&2i&1\\i&-1&3i\end{bmatrix}$ ⇒ $\overline{B^t}= \begin{bmatrix}-i&0&-i\\0&-2i&1\\-i&-1&-3i\end{bmatrix}=-B$

لذا یک ماتریس هرمیتی چپ است.

تمرین ۱. کدامیک از ماتریسهای زیر ماتریس هرمیتی چپ می‌باشند.

۱. $\begin{bmatrix}2i&0&i+1\\0&0&i\\-i-1&i&0\end{bmatrix}$

۲. $ \begin{bmatrix}i+1&0\\0&i\end{bmatrix}$