ویژگی‌های ماتریس پایین مثلثی

وبژگی‌های ماتریس پایین مثلثی: در این مطلب سعی داریم، ویژگی‌های اساسی که بر روی ماتریس‌های پایین مثلثی برقرار می‌باشد، را بیان کنیم.

ویژگی ۱. فرض کنید $A$ یک ماتریس پایین مثلثی از مرتبه $n \times n$ باشد. $ \lambda $ یک اسکالر از میدان است. در اینصورت $ \lambda A$ هم یک ماتریس پایین مثلثی خواهد بود.

مثال ۱. فرض کنید که $A$ یک ماتریس تعریف شده به صورت زیر و $ \lambda = 2i$ یک اسکالر از میدان باشد. در اینصورت $ \lambda A $ را محاسبه کرده و نوع این ماتریس را بیان کنید؟

$ A = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\1 & i & 0 \\ 2 & i+1 & 5i \end{bmatrix}  ⇒  \lambda A =2iA = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 2i & -2 & 0 \\ 4i & -2 + 2i & -10 \end{bmatrix} $

همانطور که مشاهده می‌کنید، ماتریس حاصل شده باز هم یک ماتریس پایین مثلثی است، زیرا تمام درایه‌های بالای قطر اصلی آن صفر می‌باشند.

ویژگی ۲. فرض کنید که A و B دو ماتریس پایین مثلثی باشند. در اینصورت $A+B$ یک ماتریس پایین مثلثی است.

مثال ۲. فرض کنید که A و B دو ماتریس پایین مثلثی تعریف شده به صورت زیر باشند. همچنین اسکالر $ \lambda = i$ را در نظر بگیرید. در اینصورت $ \lambda (A+B)$ را محاسبه کنید.

$ A = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\1 & 2 & 0 \\ 5 & 3 & 1 \end{bmatrix} $

$ B = \begin{bmatrix}i & 0 & 0 \\i+1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} $

$ A+B = \begin{bmatrix}i & 0 & 0 \\i+2 & 2 & 0 \\ 7 & 3 & 2 \end{bmatrix}  ⇒ \lambda (A+B)= i(A+B) = \begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 \\-1+2i & 2i & 0 \\ 7i & 3i & 2i \end{bmatrix} $

همانطور که مشاهده می‌کنید، ماتریس $\lambda (A+B)$ باز هم یک ماتریس پايین مثلثی را تشکیل می‌دهد، چون درایه‌های بالای قطر اصلی آن صفر است.

ویژگی ۳. فرض کنید که A و B دو ماتریس پایین مثلثی هم مرتبه باشند. در اینصورت AB یک ماتریس پایین مثلثی خواهد بود.

مثال ۳. فرض کنید که  A و B دو ماتریس پایین مثلثی هم مرتبه که به صورت زیر تعریف شده است، باشند. در اینصورت $AB$ را محاسبه کنید.

$ A = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\1 & 2 & 0 \\ 5 & 3 & 1 \end{bmatrix} , \:\:\: B = \begin{bmatrix}i & 0 & 0 \\i+1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} $

⇒ $ AB = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\1 & 2 & 0 \\ 5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}i & 0 & 0 \\i+1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\2 & 0 & 0 \\ 7 & 3 & 0 \end{bmatrix} $

همانطور که مشاهده می‌کنید حاصلضرب این دو ماتریس پایین مثلثی باز هم یک ماتریس پایین مثلثی خواهد بود.

ویژگی ۴. فرض کنید که A و B دو ماتریس پایین مثلثی هم مرتبه باشند. در اینصورت لزوما $AB = BA$ نمی‌باشد.

تمرین ۱.  دو ماتریس پایین مثلثی مثال بزنید که نشان دهد لزوما $AB = BA$ نخواهد بود.

ویژگی ۵. مجموعه تمام ماتریس‌های پایین مثلثی $ n\times n$ بر روی میدان $F$ یک زیرحلقه از مجموعه تمام ماتریسهای $ n\times n$ بر روی همان میدان می‌باشد.

تمرین ۲. ویژگی‌ ۵ را ثابت کنید.