ویژگی ماتریس‌های متقارن

ویژگی‌ ماتریس‌های متقارن: در این مطلب سعی داریم، ویژگی‌‌هایی را که بر روی ماتریس‌های متقارن صدق می‌کنند، را بیان کنیم.

ویژگی ۱. فرض کنید که $A$ و $B$ دو ماتریس مربعی و متقارن باشند. در اینصورت $ A+B $ متقارن خواهد بود.

زیرا با توجه به ویژگی‌هایی که برای ترانهاده یک ماتریس و  ماتریس‌های متقارن $A$ و $B$  گفته شد، داریم:

$ (A+B)^{T} = A^{T} + B^{T} = A + B $

مثال ۱- فرض کنید که دو ماتریس متقارن $A$ و $B$ به صورت زیر بیان شده باشند.

$ A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $

$ B = \begin{bmatrix} i & o \\ 0 & i \end{bmatrix} $

در اینصورت $ A + B $ متقارن نخواهد شد. زیرا با توجه به ویژگی ۱، برای اینکه مجموع دو ماتریس متقارن باشد، باید هر دو ماتریس‌ $A$ و $B$ متقارن باشند که در این مجموع، $B$ متقارن نیست.

ویژگی ۲. اگر A ماتریس مربعی و متقارن باشد. در اینصورت $ \lambda A $ نیز برای اسکالر $ \lambda $ متقارن خواهد شد.

تمرین ۱. فرض کنید که $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 5 \\ 3 & 5 & 1 \end{bmatrix} $ و $ \lambda = i $ باشد. در اینصورت آیا  $ \lambda A $ متقارن است؟

ویژگی ۳. فرض کنید که $A$ و $B$ دو ماتریس متقارن باشند. در اینصورت $ AB $ در حالت کلی متقارن نخواهد بود. برای اینکه دو ماتریس‌ $ AB $ متقارن باشند، حتما باید این دو ماتریس‌ تعویض پذیر باشند. با توجه به ویژگی‌های ترانهاده یک ماتریس‌ داریم:

$ (AB)^{T} = B^{T} A^{T} $

حال چون $A$ و $B$ متقارن هستند، لذا $ A^{T} = A $ ،$ B^{T} = B $ و اینکه $ AB = BA $ است. پس داریم:

$ B^{T} A^{T} = BA = AB $

مثال ۲. فرض کنید دو ماتریس‌ $A$ و $B$ به صورت زیر بیان شده باشند. نشان دهید که $ AB $ لزوما متقارن نیست.

فرض کنید که دو ماتریس‌ A و B را به صورت زیر تعریف کرده باشیم:

$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} $

$ B = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} $

در اینصورت داریم:

⇒ $ AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 15 & 6 \end{bmatrix} $

⇒ $ BA = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 15 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} $

پس در نتیجه $ AB \neq BA $ می‌باشد.

ویژگی ۴. فرض کنید که A یک ماتریس متقارن باشد. در اینصورت هر توانی از ماتریس‌ A هم متقارن خواهد شد. یعنی داریم:

$ \forall n \in N (A^{n})^{T} = (A^{T})^{n} = A^{n} $

ویژگی ۵. فرض کنید که $A$ یک ماتریس متقارن باشد، هرگاه $ f(x) $ یک تابع چندجمله‌ای به شکل زیر باشد:

$ f(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0 $

در اینصورت $ f(A) $ هم یک ماتریس متقارن خواهد بود.

مثال ۳. فرض کنید که $ A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} $ یک ماتریس متقارن باشد. همچنین تابع $ f(x) = x^2 + x $ را در نظر بگیرید. نشان دهید که $ f(A) $ هم متقارن است.

$ f(A) = A^2+A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 26 & 5 \\ 5 & 25 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 10 \\ 10 & 25 \end{bmatrix} $

با توجه به تعریف ماتریس‌های متقارن می‌بینیم که ماتریس‌ حاصل شده نسبت به قطر اصلی متقارن می‌باشند.

تمرین ۲. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی باشد. آیا ماتریس $ AA^{T} $ متقارن است؟

تمرین ۳. فرض کنید که A و B ماتریس‌های مربعی باشند. آیا ماتریس $ AB^{T} - BA^{T} $ متقارن است؟

تمرین ۴. فرض کنید که A و B ماتریس‌های مربعی باشند. آیا ماتریس $ AB^{T} + B^{T}A $ متقارن است؟

تمرین ۵. فرض کنید که $ A = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 7 \\ 5 & 0 & i \\ 7 & i & i \end{bmatrix} $ باشد. نشان دهید که $ f(A) $ با تابع چندجمله‌ای  به‌ صورت زیر یک ماتریس متقارن است.

$ f(x) = x^3 + ix $