تابع دوسویی

تعریف تابع دوسویی: تابع ‎$‎‎‎‎f: A \rightarrow B $‎ ‏را در نظر بگیرید. این تابع را دوسویی گویند هرگاه در شرایط زیر صدق نماید:

۱. تابع f‎‎‎‎ یک‎ به یک باشد.

۲. تابع f‎ ‎‏‎‎‎‏ پوشا باشد.

اکنون با توجه به تعریف یک به یکی، پوشایی و دوسویی ، چهار حالت برای توابع می‌توان در نظر گرفت که در زیر هر کدام را با شکل مشاهده می‌نمایید:

۱. تابعی که یک به یک و ‎پوشا‎ نباشد.

۲. تابعی یک به یک باشد ولی ‎‎‏پوشا‎ نباشد.

۳. تابعی یک به یک نباشد ولی ‎‏پوشا‎‎ باشد. 

۴. تابعی یک به یک و‎‎‎‏ پوشا باشد.

‏مثال۱. دوسویی بودن تابع زیر را بررسی کنید.

۱. ‎$f(x)=\frac{x+1}{x+2}$‎‎

برای بررسی دوسویی بودن تابع f‎ ‎ ‏  کافی‎ است یک به یک بودن و پوشا بودن تابع مورد نظر را به دست بیاوریم. خوب است بدانیم که دامنه تابع f‎‏‎‎ بازه ‎R-{2}‎ ‏‎‎را‎ شامل می‌شود‎‎‎‎. برای اثبات یک به یک بودن تابع f‎ ‎‎‏ طبق تعریف یک به یکی عمل می‌کنیم داریم:

‎$‎‎\forall x , y ‎\in D_f , f(x) =f(y) ‎\rightarrow ‎x=y‎‎‎‎‎‎$‎

‎$‎‎\frac{x+1}{x+2} = \frac{y+1}{y+2}‎$‎‎

‎$‎‎xy + 2x + y + 2 = ‎xy + x + 2y + 2‎‎‎‎‎$‎

‏حال‎ از طرفین تساوی عبارت‌های مشترک را حذف می‌کنیم‏، لذا ‎$‎x=y‎‎‎‎$‎ را خواهیم داشت. حال کافی است برای اثبات دوسویی‏، پوشا بودن را مورد محاسبه قرار دهیم. برای این منظور دوباره از تعریف ریاضی پوشا بودن استفاده می‌کنیم و بررسی می‌کنیم که در حدود دامنه تابع مورد نظر پوشاست یا خیر. 

‎$‎‎\forall y ‎\in ‎R‎_f , \exists x\in D_f \rightarrow f(x)=y‎‎‎‎‎‎$‎

‎$‎‎\frac{x+1}{x+2}=y ‎\rightarrow ‎xy+2y=x+1 ‎‎\rightarrow ‎x=‎\frac{2y-1}{1-y}‎‎‎‎‎$‎

‏از اینجا نتیجه می‌گیریم که برد تابع f‎‏ ‎‎بازه $ ‎R-{1}$‎ را شامل می‌شود. در نتیجه اگر ضابطه‎‎‎ تابع به صورت‌های زیر باشد داریم:

‏۱.‎ $‎f:R-{2}‎\rightarrow ‎R‎$‎‎

در‎ این صورت مقدار تابع f‎ ‏‎ ‎به‎ ازای هیچ نقطه‌ای در دامنه مقدار یک نخواهد شد در نتیجه تابع پوشا نخواهد بود‏، زیرا نقطه‌ای در برد تابع ‎ f‎‏یافتیم که مقداری برای آن در دامنه موجود نیست. حال اگر ضابطه تابع f‎‏ ‎‎به‎ صورت زیر باشد:

‏۲.‎ $‎f:R-{2}‎\rightarrow ‎R-‎{1}‎‎$‎‎‎‎

‎‏در اینصورت تابع f‎‏ ‎‎یک‎ به یک و پوشا خواهد شد. پس در نتیجه f‎ ‎‎ دوسویی است. 

تمرین ۱. دوسویی بودن توابع زیر را بررسی کنید. 

‏۱. ‎‎$f(x) = ‎\frac{x^2 + x}{x^2 + 5x}‎ ‎‎$‎

۲. ‎$‎g(x) =‎\sqrt{x^2 -1}‎‎$‎

۳. ‎‎‎$‎h(x)=[x]‎$‎

۴.‎ $k(x) ‎=x sgn(x)‎‎$‎