ترکیب توابع، محاسبه دامنه به همراه مثال و تمرین

ترکیب ‎‏توابع:‎ فرض کنید که ‎‎$‎f:X‎\rightarrow ‎Y‎$‎‎‏ و ‎‎$‎g:Y‎\rightarrow ‎Z‎$‎‎‏ دو تابع باشند. ترکیب دو تابع f‎‎‎‎‏ و g‎ ‏‎ ‎تابعی‎ است که مقدار ‎‏‎‎$‎‎‎x\in D_f‎$‎‎ ‏را ‏به مقداری چون ‎$g(f(x))‎‎$‎ در‎‎‎ مجموعه ‎ Z‎‎‎می‌نگارد به این صورت که ابتدا تابع f روی x عمل می کند و خروجی $f(x)$ را تولید می‌کند سپس تابع g روی مقدار بدست آمده از تابع f عمل می کند و خروجی $g(f(x))$  را تولید می‌کند .‎‎ ترکیب دو تابع را با نماد ‎‎$gof‎$‎‎‏ یا $g(f(x))$ نشان می‌دهند.

‏شکل زیر کمک شایانی به درک هر چه بهتر این مفهوم خواهد نمود:

با توجه به تعریف‏‏، مفاهیم زیر را برای ترکیب دو تابع داریم:

۱. دامنه تابع ‎gof‎‏ به صورت زیر خواهد شد:

‎$‎‎‎‎‎‏‎D_{‎gof} =\{ ‎‎x \in D_f | f(x) \in D_g \} ‎\subset ‎X‎‎$‎

یعنی دامنه gof متشکل از همه‌ی x های موجود در دامنه f است به شرطی که $f(x)$ در دامنه g قرار داشته باشد. در ترکیب توابع، تشخیص و به دست آوردن دامنه نقش مهمی در درک مسأله خواهد داشت و معمولاً در امتحانات مورد توجه قرار می‌گیرد.

۲. تابع gof‎‏ با توجه به مفهوم مجموعه به صورت زیر نیز می‌تواند بیان گردد:

‎‎$‎gof = \{ (x , gof(x)) \in D_f \times R_g | x\in D_f, f(x) \in D_g , g(f(x))\in R_g \} ‎\subset Z ‎$‎

‎نكته: ‏دقت کنید هرگاه در تابع ‎$f:X‎\rightarrow ‎Y‎$‎ ‏‎ ‎داشته‎ باشیم ‎ $‎Y ‎‎\subset ‎X‎$‎‎‏( برد تابع f زیرمجموعه دامنه‌اش باشد)، در‎ اینصورت می‌توانیم تابع f را با خودشدنیز ترکیب کنیم. ترکیب تابع f ‏‎‎‎‎ ‎‏با‎ خودش با نماد ‎‎$‎‎f^2$‎‏ ‎نمایش‎ داده خواهد شد و داریم:

‎$‎‎‎fof(x) =f(f(x))=f^2(x)‎$‎‏‎

حال اگر تابع ‎‎‏f را بيش از يك بار با خودش تركيب نماييم تابع مكرر حاصل مي‌گردد و به صورت کلی زير خواهيم داشت:

‎$‎fofof\dots f(x) =f(f(f(\dots(f(x))\dots )))= f^n(x)‎$‎

مثال: دو تابع f‎ ‎‎‏ و g‎ را به‏ صورت زیر در نظر بگیرید. ترکیب توابع زیر و دامنه تابع ترکیبی حاصل شده را محاسبه کنید.

‎$‎‎‎‎f(x) ‎=\frac{x^‎2 + 1}{x^2-1} , g(x)= ‎\sqrt{x}‎‎‎$‎‎‏‎

‏‏۱.$ ‎fof$

‎‏‏۲.$ ‎fog‎$

‎‏برای محاسبه قسمت (۱)‎‏‏،‎ کافی است ‎f(x)‎‏ را به جای مقدار x‎ ‏‎ ‎در‎ تابع ‎f(x)‎‏ قرار دهید‏. لذا داریم:

‎$‎fof(x)= ‎f(f(x))= \frac{f(x)^‎2 + 1}{f(x)^2-1}‎= ‎‎\frac{(\frac{x^‎2 + 1}{x^2-1})^2 +1}{(\frac{x^‎2 + 1}{x^2-1})^2 -1}‎=\frac{‎(x^‎2 + 1)‎^‎2 + (x^2-1)^2}{‎(x^‎2 + 1)‎^‎2 - (x^2-1)^2}$‎ ‎‎‏‎‎‎$‎‎‎\rightarrow = ‎‎\frac{x^4 + 2x^2 + 1 + x^4 - 2x^2 + 1}{x^4 + 2x^2 + 1 - x^4 + 2x^2 -1}=‎\frac{2x^4 + 2}{4x^2}‎‎‎‎$‎

‏در‎‎‎‎‎ نتیجه داریم:

‎‎$‎‎fof(x) =‎\frac{2x^4 + 2}{4x^2}$‎‎‎

‏که در آن دامنه ‎f‎of‏ ‏‎ ‎به‎ صورت زیر به دست خواهد‌ آمد:‎

‎$‎‎D_{fof} = \{x\in R | x‎\neq 0‎ ‎\}‎ $‎‎‎‎‎

‏در واقع عبارت بالا بیان می‌کند که دامنه تابع ‎fof‎‏ تمامی نقاطی از R‏‎‎‎‎ می‌باشند به جز نقاطی که مخرج کسر به ازای آنها صفر می‌شود. ‏اما نکته مهمی که در محاسبه دامنه ‏تابع ‎fof‎ به شکل بالا نهفته می‌باشد‏، این است که دامنه تابع ‎ fofبه صورت مجموعه‌ای به گونه زیر بیان می‌گردد:

‎$‎‎‎‎D_{fof} = \{ x \in D_f |f(x) \in D_f\}$‎‎

‏حال دقت کنید که عبارت $‎‎ x \in D_f‎$ ‏‎‎ ‎بیان‎ می‌کند که عضوهایی در‎‎‎ دامنه ‎fof‎‏ واقع می‌شود که در درجه اول عضوی از دامنه تابع f‎ ‏‎ ‎باشد‏،‎ پس نیاز داریم به محاسبه دامنه تابع f‎ ‏‎ ‎هم‎ به بپردازیم:

‎‎$‎D_f = \{ x\in R | x\neq 1 , -1 \}‎$‎‎

‏پس با توجه به عبارت بالا دامنه تابع ‎fof‎‏ به صورت صحیح زیر خواهد بود:

‎$‎‎D_{fof} = \{x\in R | x‎\neq 0 ,‎ 1‎ ,‎ ‎-1‎ ‎\}‎ $‎‎‎‎‎

اکنون برای محاسبه ‎fog‎ همانند قسمت اول عمل می‌کنیم‏، کافی است که مقدار ‎g(x)‎‏ را به جای x‎‎ ‏در‎ تابع ‎f(x)‎‏ جایگذاری کنیم. لذا داریم:

‎$‎‎‎fog(x) = f(g(x))= ‎\frac{(‎\sqrt{x}‎)^2 + 1}{(‎\sqrt{x}‎)^2 -1}= ‎\frac{x+1}{x-1}‎$‎‏‎

‏‎‎‎ حال با توجه دامنه ‎‏‎تابع ‎g‎‏ می‌توان دامنه تابع ‎fog‎‎‎‏ را به دست آورد. می‌دانیم که دامنه تابع g‏‎‎‎ به صورت زیر خواهد بود:

‎‎$‎D_g= \{x \in R | x \geq 0 \}‎$‎‎

‏حال با توجه به اینکه در ضابطه تابع ‎fog‎‏ نيز به ازاي نقطه يك مخرج كسر صفر می‌شود‏، لذا دامنه تابع حاصل شده را به صورت زیر خواهیم داشت:

‎‎$‎D_{fog}= \{x\in D_g | g(x) \in D_f \}=\{x \geq 0 | x\neq 1\}‎$‎‎

‏تمرین ‏۱. توابع زیر را برای توابع f‎‎‎‎‏ و g‎ ‏‎ ‎بالا‎ به دست آورید.

‏۱. $‎gog‎$

‎‏۲. $gof‎$

‎‏۳.‎$gogof‎$

‎‏۴. ‎$f^2 o ‎‎g^2‎$