ضرب داخلی: فرض کنید که $V$ یک فضای برداری بر روی میدان $F$ باشد. یک ضرب داخلی روی فضای برداری $V$  تابعی به شکل زیر می‌باشد:

$<. , .> : V \times V \rightarrow F$

که در آن هر زوج مرتب $(u,v)$ در $ V \times V$ را به اسکالری در میدان $F$ می‌نگارد و همچنین در ویژگی‌های زیر صدق می‌کند:

۱. به ازای هر $ v \in V$ بگیریم، داریم:

 $ <v,v>   \geq 0 $

۲. اگر $v \in V$ باشد، در اینصورت $<v,v>=0$ اگر و تنها اگر $v=0$ باشد.

۳. برای هر $u,v,w \in V$ می‌گیریم، داریم:

$ <u+v,w> = <u,w> + <v,w>$

۴. برای هر $u,v \in V$ و هر $\alpha \in F$ می‌گیریم، داریم:

$< \alpha u , v> = \alpha <u,v>$

۵. برای هر $u,v \in V$ می‌گیریم، داریم:

 $<u , v> = \overline{<u , v>}$

مثال ۱. فرض کنید $V = \mathbb{R}^n$ باشد. ثابت کنید تابع زیر یک ضرب داخلی بر روی فضای برداری $ \mathbb{R}$ باشد:

$<. , .> : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$

$<(w_1 , ... , w_n) , (v_1 , ... , v_n)> = w_1 \overline{v_1} +... + w_n \overline{v_n}$

برای بررسی ضرب داخلی بودن تابع بالا، کافی است ۴ شرط ضرب داخلی را برای آن بررسی کنیم. لذا داریم:

۱. برای هر $ v \in V$ می‌گیریم، داریم:

$<(w_1 , ... , w_n) , (w_1 , w_2 , ... , w_n)> = \sum_{i = 1}^n w_i \overline{w_i} = \sum_{i=1}^n w_i^2 $

که مجموع اعداد مثبت، عددی مثبت است.

۲. برای هر $ u,v,w \in V$ می‌گیریم، داریم:

$<(u+v , w)> = <(u_1 + v_1 , ... , u_n + v_n) , (w_1 , ... , w_n)> = (u_1 +v_1) \overline{w_1} + ... + (u_n + v_n) \overline{w_n} = (u_1 \overline{w_1} + ... + u_n \overline{w_n}) + (v_1 \overline{w_1} + ... + v_n \overline{w_n}) = <u , w> + <v , w> $

۳. برای هر $u,v \in V$ و $ \lambda \in F$ می‌گیریم، داریم:

$<\lambda v , w> = \lambda u_1 \overline{w_1} + ... + \lambda u_n \overline{w_n} = \lambda (u_1 \overline{w_1} + ... + u_n \overline{w_n}) = \lambda <v , w>$

۴ .برای هر $u,v \in V $ می‌گیریم، داریم:

$<u , v> = u_1 \overline{v_1} + ... + u_n \overline{v_n} = \overline{\overline{u_1} v_1} + ... + \overline{\overline{u_n} v_n} = \overline{\overline{u_1} v_1 + ... \overline{u_n} v_n} = \overline{<u , v>}$

تمرین ۱. فرض کنید که $c_1 , ... c_n$ اعداد مثبت باشند. ثابت کنید که  تابع زیر یک ضرب داخلی بر روی  فضای برداری $F^n$ می‌باشد.

$<. , .> = F^n \times F^n \longrightarrow F$

$<(w_1 , ... , w_n) , (z_1 , ... , z_n)> = C_1w_1 \overline{z_1} + ... + c_n w_n \overline{z_n}$

تمرین ۲. فرض کنید که $V$ فضای برداری تمام توابع پیوسته حقیقی مقدار بر روی بازه $[1 , 1-]$ باشد. ثابت کنید تابع زیر یک ضرب داخلی بر روی  فضای برداری $V$ می‌باشد.

$<. , .>: V \times V \longrightarrow \mathbb{R}$

$<f,g> = \int_{-1}^{1} f(x)g(x) dx$