خانه

ویژگی‌‌های ماتریس‌های هرمیتی و هرمیتی کج

 در این مطلب سعی داریم ویژگی‌هایی که بر روی ماتریس‌های هرمیتی و هرمیتی کج را بررسی کنیم. 

ویژگی ۱. اگر A یک ماتریس مربعی از مرتبه $n \times n$ باشد. در اینصورت عبارات زیر را داریم: 

• ‌ماتریس $A+\overline{A^t}$ یک ماتریس هرمیتی است. زیرا داریم: 

$\overline{(A+ \overline{A^t})^t}= \overline{A^t + (\overline{A^t})^t}=\overline{A^t} + \overline{\overline{(A^t)^t}}= \overline{A^t} + \overline{\overline{A}}= \overline{A^t} + A$

در نتیجه ‌ماتریس A یک ماتریس هرمیتی است. 

• ‌ماتریس $A-\overline{A^t}$ یک ماتریس هرمیتی کج است. زیرا داریم: 

$\overline{(A-\overline{A^t})^t}= \overline{A^t - (\overline{A^t})^t}=\overline{A^t} - \overline{(\overline{A^t})^t}=\overline{A^t} - \overline{\overline{(A^t)^t}}=\overline{A^t} - \overline{\overline{A}}=\overline{A^t} - A=-(A-\overline{A^t})$

مثال ۱. فرض کنید که A یک  ماتریس مربعی به شکل زیر باشد. نشان دهید که $A+\overline{A^t}$  و $A- \overline{A^t}$ ماتریس هرمیتی و ماتریس هرمیتی کج می‌باشند.

$A=\begin{bmatrix}1&i\\0&2 \end{bmatrix}$

برای اینکه نشان دهیم ماتریسهای $A+\overline{A^t}$ و $A-\overline{A^t}$ ماتریس هرمیتی و ماتریس هرمیتی کج هستند، اینگونه عمل می‌کنیم:

 $A^t= \begin{bmatrix} 1&0\\i&2\end{bmatrix}$ ⇒ $\overline{A^t}=\begin{bmatrix}1&0\\-i&2\end{bmatrix}$ ⇒ $A+ \overline{A^t}=\begin{bmatrix}1&i\\0&2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1&0\\-i&2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2&i\\-i&4\end{bmatrix}=C$

حال نشان می‌دهیم که $A+\overline{A^t}$ هرمیتی است. لذا داریم:

$C^t =\begin{bmatrix}2&-i\\i&4\end{bmatrix}$ ⇒ $\overline{C^t}=\begin{bmatrix}2&i\\-i&4\end{bmatrix}=C$

لذا یک ماتریس هرمیتی است. 

حال ماتریس $A-\overline{A^t}$ را به دست می‌آوریم:

$A-\overline{A^t}=\begin{bmatrix}1&i\\0&2\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}1&0\\-i&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&i\\-i&4\end{bmatrix}=D$

بررسی می‌کنیم که ماتریس حاصل شده یک ماتریس هرمیتی کج است. پس داریم:

$D^t=\begin{bmatrix}2&-i\\i&4\end{bmatrix}$ ⇒ $\overline{D^t}=\begin{bmatrix}2&i\\-i&4\end{bmatrix}=D$

پس یک ماتریس هرمیتی کج است. 

ویژگی ۲. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه $n \times n$ با درایه‌های مختلط باشد. در اینصورت این ماتریس را می‌توان به شکل مجموع دو ماتریس هرمیتی $\frac{1}{2}(A + \overline{A^t})$ و ماتریس هرمیتی کج $\frac{1}{2}(A-\overline{A^t})$ نوشت. 

تمرین ۱. نشان دهید که ماتریسهای زیر را می‌توان برحسب مجموع دو ماتریس به شکل ویژگی ۲ بیان نمود. 

۱. $A=\begin{bmatrix}1&i&2\\3&i+1&5\\i&3&4\end{bmatrix}$

۲. $B=\begin{bmatrix}i&i+1\\2i+1&5i\end{bmatrix}$

ویژگی ۳. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه $n \times n$ باشد. در اینصورت داریم:

• اگر ماتریس A یک ماتریس هرمیتی باشد. آنگاه $\overline{A}$ یک ماتریس هرمیتی است. زیرا از اینکه A ماتریس هرمیتی است، داریم:

$\overline{A^t}=A$

در نتیجه $\overline{\overline{A}^t}= \overline{A}$. پس $\overline{A}$ یک ماتریس هرمیتی است. 

• اگر ماتریس A یک ماتریس هرمیتی کج باشد. آنگاه $\overline{A}$ یک ماتربس هرمیتی کج است. زیرا از اینکه A یک ماتریس هرمیتی است، داریم:

$\overline{A^t}= -A$

در نتیجه $\overline{\overline{A}^t}=-\overline{A}$. پس $\overline{A}$ یک ماتریس هرمیتی کج است .

تمرین ۲. نشان دهید که ماتریسهای $\overline{A}$  و $\overline{B}$ ماتریس‌های هرمیتی و هرمیتی کج است. 

• ۱. $A=\begin{bmatrix}1&i&0\\-i&2&-2i\\0&2i&3\end{bmatrix}$ 
• ۲. $B=\begin{bmatrix}i&1-i\\-1-i&3i\end{bmatrix}$

  ---

ویژگی ۴. فرض کنید که A یک ماتریس حقیقی و پادمتقارن یا مختلط و هرمیتی کج باشد. آنگاه $±iA$ یک ماتریس هرمیتی است. 

تمرین ۳. نشان دهید که ویژگی ۴ برقرار است.

 ویژگی ۵. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی مختلط از مرتبه $n\times n$ و هرمیتی باشد. در اینصورت ماتریسهای زیر هرمیتی هستند. 

$A+\overline{A^t}$      

 $A\overline{A^t}$   

  $\overline{A^t}A$

مثال ۲. فرض کنید که A یک ماتریس هرمیتی مختلط به شکل زیر باشد. ویژگی ۵ را بررسی کنید. 

$A=\begin{bmatrix}i&i+1\\2i&3i\end{bmatrix}$

ابتدا نشان می‌دهیم که $\overline{A^t}A$  یک ماتریس هرمیتی است. برای این موضوع داریم:

$A^t=\begin{bmatrix}i&2i\\i+1&3i\end{bmatrix}$ ⇒ $\overline{A^t}= \begin{bmatrix}-i&-2i\\-i+1&-3i\end{bmatrix}$

⇒ $\overline{A^t}A=\begin{bmatrix}-i&-2i\\-i+1&-3i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i&i+1\\2i&3i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+4&1-i+6\\1+i+6&1+1+9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&7-i\\7+i&11\end{bmatrix}=C$

که C یک ماتریس هرمیتی است. به عنوان تمرین ثابت کنید که $A\overline{A^t}$ و $A + \overline{A^t}$ ماتریس‌های هرمیتی هستند.

ویژگی ۶. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه $n \times n$ و هرمیتی باشد. در اینصورت A را می‌توان به شکل منحصر به فردی چون $B+iC$ نوشت که در آن B یک ماتریس متقارن و C یک ماتریس پادمتقارن حقیقی است. 

مثال ۳. فرض کنید که A یک ماتریس به شکل زیر باشد. نشان دهید ویژگی ۶ برقرار است. 

$A=\begin{bmatrix}2&i\\-i&3\end{bmatrix} $⇒ $A=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix} + i\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}=B+iC$

که در آن B یک  ماتریس متقارن و C یک ماتریس پادمتقارن است. 

ویژگی ۷. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی از مرتبه $n\times n$ و هرمیتی کج باشد. در اینصورت می‌توان  ماتریسهای B و C که منحصر به فرد هستند را به گونه‌ای یافت که $A=B+iC$ باشد، که در آن B ماتریس پادمتقارن و C ماتریس متقارن حقیقی است. 

تمرین ۴. با یک مثال ویژگی ۷ رانشان دهید. 

اعمال سطری مقدماتی: فرض کنید که $e$ تابعی به شکل زیر باشد.

$e: M_{m \times n}(F) \Rightarrow M_{m \times n}(F)$

ماتریس های $A$ و $B$ را از فضای ماتریسی $M_{m \times n}(F)$ به صورت سطری زیر نمایش می‌دهیم:

$A = \begin{bmatrix}A_1 \\ . \\ . \\ . \\ A_m \end{bmatrix} ,\ B = \begin{bmatrix}B_1 \\ . \\ . \\ . \\ B_m \end{bmatrix}$

که در آن $A_j$ و $B_j$ برای $1 \leq j \leq m$ سطر jام ماتریس‌های $A$ و $B$ باشند. لذا برای ضابطه تابع $e$ سه حالت زیر را داریم:

۱. ماتریس $B$ را می‌توان از ماتریس $A$ با ضرب یک سطر این ماتریس در عدد ثابت $C$ بدست آورد. یعنی داریم:

$1 \leq i \leq m :\ B_i = \begin{cases}CA_i & i = k\\A_i & i \neq k\end{cases}$

یعنی می‌گویند که سطر iام ماتریس $A$ را در عدد $C$ ضرب کن بقیه سطرهای ماتریس $B$ُ همان سطرهای ماتریس $A$ باشند.

۲. ماتریس $B$ را‌‌ می‌توان از جا به جایی دو سطر از ماتریس $A$ بدست آورد یعنی داریم.

$1 \leq i \leq m :\ B_i = \begin{cases}A_k & i = h\\A_h & i = k \\ A_i & i \leq h,k \end{cases}$

در اینجا منظور این است که سطرهای $k$ و $h$ را باهم جا به جا کن بقیه سطرهای همان سطرهای ماتریس $A$ُ باشند.

۳. ماتریس $B$ را از مجموع یک سطر در مضربی ثابت از سطر دیگر بدست آوردیم. یعنی داریم:

$1 \leq i \leq m :\ B_i = \begin{cases}A_k + CA_h & i = k\\A_i & i \neq k\end{cases}$

یعنی می‌گویند که $C$ برابر سطر $h$ ام $A$ را با سطر $k$ام جمع کن و آن را به جای سطر $k$ام ماتریس قرار بدهید.

در واقع هر تابعی به شکل بالا را یک تابع سطری مقدماتی می‌گویند.

مثال:‌ فرض کنید که $B$ ماتریسی باشد که از مجموع سطر دوم ماتریس $A$ با ۳برابر سطر سوم بدست آید در اینصورت ماتریس $B$ را بدست آورید.

$A = \begin{bmatrix}1 & 5 & 2 \\0 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow B = \begin{bmatrix}1 & 5 & 2 \\ 0+3 \times 4 & 3+2 \times 3 & 1+0 \times 3 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 5 & 2 \\12 & 9 & 1 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

تمرین ۱. فرض کنید ماتریس $B$ که به شکل زیر می‌باشد از مجموع سطر اول و سوم و جا به جایی سطر دوم و چهارم بدست آمده است. ماتریس اولیه $A$ را محاسبه کنید.

1. $B = \begin{bmatrix}2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 1 & 7 & 0 \\ 4 & 9 & 8 & 1 \\ 2 & 3 & 5 & 1 \end{bmatrix}$

2. $B = \begin{bmatrix}8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ 1 & 5 & 6 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 7 & 8 & 1 \\ 4 & 5 & 9 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 1 \end{bmatrix}$

تذکر ۱. هر تابع سطری مقدماتی تابع معکوس پذیر است. دقت کنید که معکوس آن هم یک تابع سطری مقدماتی می‌باشند. فرض کنید که $C$ یک تابع سطری مقدماتی باشد. در اینصورت عمل سطری مقدماتی چون $e_1$ موجود است به قسمی که.

$e(e_1(A)) = e_1(e(A))=A$

برای توضیح بیشتر می‌توایید در تعریف ضابطه تابع سطری مقدماتی که در اول این بحث هرکاری که برای ضابطه انجام  می‌دادید را در جهت عکس عمل کنید که معکوس عمل سطری مقدماتی حاصل شود.

وابستگی خطی بردارها: فرض کنید که مجموعه $ A = \{ \overrightarrow{v_1} , ... , \overrightarrow{v_{k}} \}$ یک زیرمجموعه از فضای برداری $V$ بر روی میدان $F$ باشد. بردارهای $ \overrightarrow{v_{k}} , ... , \overrightarrow{v_1}\ $ را وابسته خطی گویند، هرگاه اسکالرهای $ a_{k} , ... , a_1$ به گونه‌ای که همگی آنها صفر نباشد، یافت شود و داشته باشیم:

$ a_1v_1 + ... + a_{k}v_{k} =0$

در واقع مفهوم بالا بیان می‌کند که بردار صفر را می‌توان به صورت یک ترکیب خطی از بردارهایی نوشت که همگی اسکالرهای آن صفر نیستند. وقتی یکی از اسکالرها مثلا $a_{i}$ که $ 1 \leq i \leq k $ باشد مخالف صفر باشد، در اینصورت داریم: