خانه

تساوی دو ماتریس: فرض کنیم‎$‎ A‎ =‎ [‎a_{ij}] ‌‌‌‎$‌‌‏ و ‎$‎ B‎ =‎ [‎b_{ij}] ‌‌‌‎$‌‌‏ دو ماتریس‎$‎ m ‌‌‌‎\times n ‌‌‌‎$‌‌‏ باشند. گوییم این دو ماتریس با هم مساوی هستند اگر دارای دو شرط زیر باشند:

۱. هم مرتبه باشند.

۲. درایه‌های نظیر به نظیر با هم یکسان باشند.

به عبارت دیگر می‌توان بیان نمود که 

‎$ ‌‌‌‎\forall 1‎ ‌‎\leq i‎ ‎\leq m‎ ,‎ 1‎ ‎\leq j‎ ‎\leq n‎ ‌‎\Longrightarrow ‎a_{ij} = ‎b_{ij} ‌‎$‌‎

مثال ۱. کدام یک از ماتریس‌های زیر با ماتریس $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 5 \\ 2 & 9 \end{bmatrix}$ مساوی می‌باشند؟

۱. $\begin{bmatrix}\frac{3}{4} & \frac{5}{3} \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$

برای اینکه دو ماتریس با هم برابر باشند علاوه بر هم مرتبه بودن، باید درایه‌های نظیر به نظیر آنها با هم یکسان باشند. همانطور که مشاهده می‌کنید ماتریس بالا دارای این ویژگی نمی‌باشد.

۲. $\begin{bmatrix}\frac{2}{4} & \frac{30}{6} \\ \frac{6}{3} & \frac{18}{2}\end{bmatrix}$

با ساده كردن درايه‌هاي ماتریس فوق متوجه خواهيد شد كه اين دو ماتریس يكسان خواهند بود.

۳. $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 5 & 0\\ 3 & 6 &1 \end{bmatrix}$

این ماتریس هم با ماتریس داده شده، مساوی نخواهد شد، زیرا این دو ماتریس هم مرتبه نمی‌باشند.

‏مثال ۱. اگر دو ماتریس A‎ ‏ و B‎ باهم‌‌‌‎ مساوی باشند مقدار ‎x‌ ‏و y‌‌‎  را محاسبه کنید.‎

$A=\begin{bmatrix} x^2+1 & 5 \\ y & y+x \end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix}2x &5 \\ 1& y+x \end{bmatrix}$

از تساوی دو ماتریس A و B  داریم:

$A=B ⇒ \begin{bmatrix} x^2+1 & 5 \\ y & y+x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2x &5 \\ 1& y+x \end{bmatrix}$

حال با توجه به این موضوع که در تساوی دو ماتریس درایه‌های نظیر به نظیر یکسان می‌باشند، لذا عبارات زیر حاصل خواهند شد:

$x^2 + 1 =2x ,  y=1 $

که با حل معادله درجه دوم $x^2 -2x+1=0$، مقدار یک برای x حاصل خواهد شد. 

‌‏تمرین ۱. در چه شرایطی برای ‎x‌ ‏و y‌‌‎ دو ماتریس A‌‏ و B‌‌‎ با هم مساوی خواهند بود؟

$A=\begin{bmatrix}x^2+4x & 2 \\ 5x & 1 \end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix}-4 & 1&2 \\ -5 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

‌‏تمرین ۲. در چه شرایطی برای x، y و z‏ دو ماتریس ‎ Aو B با هم مساوی خواهند بود؟

$A=\begin{bmatrix} \sqrt{x^2 + 2x} & 5 \\ z & 3 \\ y+z & z \end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} 1 & 5\\z & 3\\ 1 & 5\end{bmatrix}$

ماتریس خود توان: فرض کنید ‎A‌‏ یک ماتریس ‌‎ $ n \times n $ ‎ ‏باشد. ماتریس ‌‏A‎ را خود توان نامیم، هرگاه توانش با خودش برابر باشد یعنی رابطه زیر برقرار باشد:

‌‎$ A \times A = A‌‎^{2} = A $‌‌‌‎

مثال ۱. کدام یک از ماتریسهای زیر خود توان هستند.

۱. $A=\begin{bmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\-1&1&1\\ \end{bmatrix}$

برای بررسی خودتوانی ماتریس فوق کافی است ماتریس A را یکبار در خودش ضرب نمایید. لذا داریم:

۱. $A*A=\begin{bmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\-1&1&1\\ \end{bmatrix} *‌ \begin{bmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\-1&1&1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1-1-1&-1+1+1&-1+1+1\\+1-1-1&-1+1+1&-1+1+1\\1-1-1&-1+1+1&-1+1+1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\-1&1&1\\ \end{bmatrix}$

همانطور که مشاهده می‌کنید، ماتریس حاصل شده با ماتریس اولیه برابر می‌باشد. لذا طبق تعریف ماتریس خود توان این ماتریس، یک ماتریس خود توان می‌باشد.

۲. $B =\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix}$

برای بررسی خودتوانی  ماتریس B کافی است آن را یکبار در خودش ضرب نماییم. لذا داریم:

۲. $B*B =\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{4}+\frac{1}{4}&\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\\ \frac{1}{4}+\frac{1}{4}& \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix}$

تمرین ۱. بررسی کنید ماتریس زیر خود توان است.

$ C=\begin{bmatrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{bmatrix} $

نکته ۱. فرض کنید A‌‏ ماتریس مربعی خود توان باشد. در اینصورت به ازای هر عدد طبیعی n‌‌‎ داریم:

‎$‌‌‎A^{n}=A‎$‎

نکته ۲. فرض کنید که A‌‌‎ یک ماتریس خود توان باشد. ثابت کنید که I‎ -‎ A یک ماتریس خود توان است.

برا بررسی خود توانی  ماتریس I-A کافی است، این ماتریس را یکبار در خودش ضرب نمایید. لذا داریم:

$(I-A)*(I-A)=(I-A)^{2}=I^2-2AI+A^2=I-2A+A=I-A$

همانطور که مشاهده می‌کنید I-A یک ماتریس خودتوان خواهد شد.

تمرین ۲. فرض کنید A یک ماتریس مربعی $n \times n$ و خود توان باشد. در این صورت عبارت زیر را ثابت کنید.

$\forall n‎\in \mathbb{N‌‎}, (I+A)^{n}=‎I‎+‎(2^{n} ‎-1)A‎$‌‎

ویژگی‌های ماتریس‌های پوچ توان: در این مطلب سعی نموده‌ایم، ویژگی‌های مهمی که در بین ماتریس‌های پوچ توان برقرار می‌باشد، را ارائه کنیم.

ویژگی ۱. هر ماتریس بالامثلثی یا ماتریس پایین مثلثی که درایه‌های روی قطر اصلی آن صفر باشد حتما ماتریس پوچ توان است.

مثال ۱. نشان دهید که  ماتریسهای زیر ماتریس‌‌های پوچ توان هستند.

$A=\begin{bmatrix} 0&1&2&3\\0&0&2&3\\0&0&0&2\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}$

همانطور که مشاهده می‌کنید، تمام درایه‌های زیر قطر اصلی ماتریس فوق صفر می‌باشد، پس این ماتریس یک ماتریس بالامثلثی خواهد بود. طبق ویژگی ۱، این  ماتریس یک ماتریس پوچ توان خواهد بود. برای نشان دادن این موضوع کافی است که ماتریس A را حداکثر به تعداد سطرها یا ستون‌هایش در خودش ضرب کنید. لذا داریم:

$ A*A=\begin{bmatrix} 0&1&2&3\\0&0&2&3\\0&0&0&2\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1&2&3\\0&0&2&3\\0&0&0&2\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&0&2&7\\0&0&0&4\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}$

حال ماتریس حاصل شده را دوباره در ماتریس A ضرب کنید، خواهید داشت:

$A^2 * A=  \begin{bmatrix} 0&0&2&7\\0&0&0&4\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&1&2&3\\0&0&2&3\\0&0&0&2\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&0&0&4\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}$

و در نهایت اگر بار دیگر ماتریس حاصل شده را در ماتریس A را ضرب کنید ماتریس صفر حاصل خواهد شد. لذا یک ماتریس پوچ توان خواهد بود. 

ویژگی ۲. فرض کنید که ‎A‌‏ و B‌‌‎ دو ماتریس مربعی از مرتبه $ n\times n$، پوچ توان و تعویض پذیر باشند. در اینصورت ماتریس ‎A+B‌‏ نیز یک ماتریس پوچ توان خواهد بود.

مثال ۲. دو ماتریس  A و B را به شکل زیر در نظر بگیرید. بررسی کنید که آیا مجموع این دو ماتریس خودتوان است.

$A=\begin{bmatrix}0&1\\0 &0\\ \end{bmatrix} , B=\begin{bmatrix} 0&0\\1&0\\ \end{bmatrix}$

با توجه به ویژگی ۱، دو ماتریس A و B پوچ توان هستند. ولی مجموع این دو ماتریس پوچ توان نخواهد بود، زیرا با توجه به ویژگی دو باید این دو ماتریس تعویض پذیر هم باشند، ولی می‌توان مشاهده نمود که $AB\neq BA$  لذا  مجموع این دو ماتریس پوچ توان نخواهد شد. با توجه به اینکه  مجموع دو ماتریس A و B به صورت زیر خواهد شد، داریم:

$A+B= \begin{bmatrix}0&1\\0 &0\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0\\1&0\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0&1\\1&0\\ \end{bmatrix}$

و با بررسی پوچ توانی خواهیم داشت:

$(A+B)*(A+B)=\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\\ \end{bmatrix}$

در نتیجه این ماتریس هرگز پوچ توان نخواهد شد. 

ویژگی ۳.  فرض کنید که ‎A‌‏ یک ماتریس ‎$‎ n ‌‌‌‎\times n ‌‌‌‎$‌‌‏ بر روی یک میدان F‎ و ‎پوچ‎ توان باشد‏. در اینصورت ماتریس‎$‌‎ ‌‎\lambda A ‌‌‌‎$‌‌‏ پوچ توان خواهد بود.

تمرین ۱.  ثابت کنید که ماتریس زیر پوچ توان است. 

$A=\begin{bmatrix} 0&1+i&3\\ 0&0&i\\ 0&i&0 \\ \end{bmatrix},  \lambda = 2i+1,  \lambda A =?$ 

ویژگی ۴.  فرض کنید که A‎ و B‌‌‌‎ دو ماتریس تعویض پذیر باشند، اگر یکی از دو ماتریسهای A و B پوچ توان باشند، آنگاه ‎AB‌‏ ماتریس پوچ توان خواهد بود.

ویژگی ۵. ماتریس صفر تنها ماتریسی است که هم خود توان و هم پوچ توان است.

ویژگی ۶. فرض کنید که ماتریس A‌‌‎ پوچ توان باشد. اگر تابع $f(x)$‏ یک تابع چندجمله‌ای با جمله ثابت صفر باشد، در اینصورت f(A)‎ یک ماتریس ‏پوچ توان است.

تمرین ۲. نشان دهید کدامیک از ماتریسهای زیر پوچ توان است. 

۱. $A=\begin{bmatrix} 0&i&3i\\ 0&0&-1\\ 0&i&i \\ \end{bmatrix},  \lambda = 5i, \lambda A=?$

۲. $f(x)=x^2+x, f(A)=?$

۳.  $A=\begin{bmatrix} 0&i&3i\\ 0&0&-1\\ 0&i&i \\ \end{bmatrix} , B= \begin{bmatrix} 1&2&3i\\ 0&5&-1\\ 0&-i&i \\ \end{bmatrix},   AB=?$