خانه

ب: اگر با اين ميزان شکاکيت به موضوعات بنگريم ديگر هيچ سخنی علمی نيست و هيچگاه نمی‌توان به چيزی اطمينان داشت و اميدی برای دستيابی به حقيقت وجود نخواهد داشت.

الف: به همين دليل است که می‌گويم ما با نظريه‌های علمی سروکار داريم نه با حقايق مطلق در مورد جهان. يعنی علوم تجربی با دسته بندی مشاهدات، سعی می‌کنند قواعدی کلی را بدست آورند. اين قواعد کلی گزاره‌هایی هستند که در يک محدوده بدست آمده است و با تجربه می‌توان اين محدوده را افزايش داد و اطمينان بيشتری نسبت به آن بدست آورد. اما تعميم آن گزاره به تمام پديده‌ها، يک فرض است و می‌تواند اصول نظريه را تشکيل دهد. لذا تا زمانی که آن نظريه به تناقض نرسد ويا مشاهده‌ای جديد آن را نقض نکند معتبر خواهد بود.

ب: دانشمندان مختلف از زوايای مختلفی به پديده‌ها می‌نگرند و آن را به شکل‌های مختلفی صورتبندی می‌کنند، مثلاً در نظريه نسبيت انيشتين يا در نظريه فيزيک کوانتومی قواعد فيزيک کلاسيک نقض می‌شود. آيا باز هم فيزيک کلاسيک را معتبر می‌دانيد؟

الف: به مثال خوبی اشاره کرديد. ممکن است در يک موضوع نظريه‌های مختلفی وجود داشته باشد که حتی بعضاً يکديگر را نقض کنند اما تا زمانی که به تناقض درونی نرسند ويا پديده‌ای آنها را نقض نکند، آن نظريه‌ها معتبرند.

ب: منظور شما را از نقض يک نظريه توسط يک پديده جديد را متوجه شدم. مثلاً اگر بگوييم «همه کلاغ‌ها سياهند.» و يک کلاغی پيدا شود که سفيد باشد، آن گزاره نقض می‌شود و آن گزاره ديگر معتبر نيست. اما منظور شما از تناقض درونی چيست؟

الف: يک نظريه ممکن است تناقض درونی داشته باشد. يعنی بتواند که يک گزاره را هم اثبات کند و هم آن را رد کند. در اين حالت می‎گوييم آن نظريه ناسازگار است. مثلاً در هنگامی که نظريه مجموعه‌ها توسط فرگه تدوين می‌شد يک بديهی از موضوع مجموعه‌ها وجود داشت: «هر خاصيت می‌تواند بيانگر يک مجموعه باشد.»

ب: اين گزاره بسيار بديهی است. مثلاً خاصيت سفيد بودن، تمام اشياء سفيد را در يک مجموعه قرار می‌دهد و ما مجموعه‌ای از تمام اشياء سفيد خواهيم داشت.

الف: آری بسياری از رياضيدانان اين گزاره را بديهی می‌دانستند تا اين که برتراند راسل پارادکسی را مطرح کرد. او گفت: بسياری از مجموعه‌ها به خودشان تعلق ندارند. مثلاً مجموعه اعداد اول خودش يک عدد اول نيست. اغلب مجموعه‌هایی که می‌شناسيم همين خاصيت را دارند. لذا اين خاصيت را عادی بودن می‌ناميم.

ب: ممکن است مجموعه‌ای باشد که عادی نباشد. مثلاً اگر مجموعه‌ی اشياء سفيد را در کنار هم بگذاريم، آن مجموعه نيز سفيد ديده خواهد شد.

الف: بله. مجموعه‌ای که عضو خودش باشد را غيرعادی می‌ناميم. اکنون يک خاصيت با تعريفی مشخص در دست داريم: «عادی بودن يک مجموعه». گزاره بالا می‌گويد هر خاصيت يک مجموعه را مشخص می‌کند. نتيجه چيست؟

ب: خاصيت عادی بودن، يک مجموعه‌ از مجموعه‌های غيرعادی را به وجود می‌آوَرَد.

الف: اجازه دهيد اسم اين مجموعه را M بگذاريم. سوال اين است که M عادی است يا غير عادی؟

ب: عادی است.

الف: اگر M عادی باشد پس در مجموعه مجموعه‌های عادی خواهد بود. يعنی M در مجموعه M قرار دارد. به بيان ديگر M به خودش تعلق دارد. طبق تعريف، اين به معنای غير عادی بودن M است و اين يک تناقض است.

ب: می‌خواهيد بگوييد M غيرعادی است؟

الف: اکنون تصور کنيم که M غير عادی باشد. در اين صورت طبق تعريف M به خودش متعلق است. اما شرط قرار گرفتن يک مجموعه در M آن است که عادی باشد. پس M بايد عادی باشد و اين نيز با فرض غير عادی بودن M در تناقض است.

ب: چگونه ممکن است که M نه عادی باشد و نه غير عادی؟!

الف: اين يک پارادکس است و نشان می‌دهد بديهی پذيرفته شده اوليه درست نبوده و دارای ناسازگاری و تناقض درونی است. درست زمانی که فرگه می‌خواست کتابش در زمينه نظريه مجموعه‌ها را به چاپ برساند نامه‌ای از راسل دريافت کرد که شامل اين پارادکس بود و فرگه بنيان کتابش را متزلزل ديد.

ب: بسيار جالب بود. من را به ياد پارادکس «آرايشگر دهکده ^[1]» انداخت که می گفت: در يک دهکده آرايشگری بود که ادعا می‌کرد، فقط و فقط ريش تمام کسانی را می‌تراشد که خودشان ريش خودشان را نتراشند. سوال اين بود که آيا او ريش خودش را می‌تراشد؟ اگر بتراشد، قاعده خود را نقض کرده و اگر نتراشد بايد در گروه کسانی قرار گيرد که آرايشگر دهکده (خودش) ريش او را می‌تراشد.

اگر درست فهميده باشم منظور شما اين است که جمله آرايشگر نيز دارای تناقض درونی است.

الف: کاملاً درست است.

ب: پارادکس راسل ^[2] نشان داد که نظريه مجموعه‌ها نادرست و تناقض درونی دارد و بايد آن را دور ريخت. پس چرا رياضيدانان بر اساس نظريه مجموعه‌ها کار می‌کنند؟

ب: آيا ما نمی‌توانيم مفاهيم را بدون واژه‌ها و جملات انتقال دهيم؟

ریاضی, کتاب‌های مبانی ریاضی, جزوه های مبانی ریاضیات (مبانی ریاضی)

• بازدید: 3222