خانه
گروه آبلی
گروه آبلی: گروه $G$ همراه با عمل دوتایی * یک گروه آبلی گوییم هرگاه عمل دوتایی جابهجایی باشد یعنی در شرط زیر صدق کند
$a,b \in G$ داشته باشیم:
$ a*b = b*a$
مثال ۱. نشان دهید که مجموعه $\mathbb{Z}$ نسبت به عمل دوتایی جمع یک گروه آبلی است.
ابتدا نشان می دهیم مجموعه $\mathbb{Z}$ نسبت به عمل دوتایی جمع یک گروه است، زیرا در شرایط زیر صدق ميکند:
۱. به ازای هر $a,b \in \mathbb{Z} $ بگیریم، مجموع دو عدد صحیح، عددی صحیح است. لذا $ a+b \in \mathbb{Z}$ میباشد.
۲. به ازای هر $a,b,c \in \mathbb{Z} $ بگیریم، خاصیت شرکت پذیری بر روی اعداد صحیح برقرار است، یعنی داریم:
$ (a+b)+c = a+(b+c)$
۳. عضوی چون صفر بر روی مجموعه $\mathbb{Z}$ موجود است، به قسمی که برای هر عضو $ a \in \mathbb{Z}$ بگیریم، داریم:
$a+0 = 0+a =a $
۴. به ازای هر عضو $ a \in \mathbb{Z}$ بگیریم، عضوی چون $ -a \in \mathbb{Z} $ موجود است، به قسمی که داریم:
$a+(-a) = (-a)+a = 0$
لذا با توجه به شرایط بالا، مجموعه $\mathbb{Z}$ نسبت به عمل دوتایی جمع یک گروه است. حال برای اثبات آبلی بودن این گروه برای هر $a,b \in \mathbb{Z}$ داریم:
$a+b=b+a$
پس شرط پنجم و جابجایی بودن عمل دوتایی نیز برقرار است لذا گروه آبلی است.
تمرین ۱. آیا مجموعه ماتریسهای $ 2 \times 2 $ همراه با عمل دوتایی ضرب ماتریسی یک گروه آبلی است؟
تمرین ۲. مجموعه $ G = \{ a^{n} | n \in \mathbb{Z} \} $ که در آن $a \in \mathbb{Z} $ ثابت است، را در نظر بگیرید. عمل دوتایی را بر روی این مجموعه به شکل زیر تعریف میکنیم:
$ \forall n,m \in \mathbb{Z}, a^{n} * a^{m} = a^{n+m}$
آیا این مجموعه همراه با این عمل دوتایی یک گروه آبلی است؟
تمرین ۳. آیا مجموعه $ G = \{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} | a,b,c,d \in \mathbb{R} \} $ همراه با عمل دوتایی جمع ماتریسها یک گروه آبلی است؟
- بازدید: 12332
زیرگروه، تعریف، مثال، تمرین
تعریف زیر گروه: فرض کنید $ G \neq \emptyset $ همراه با عمل دوتايي * که بر روی آن تعریف شده است، تشکیل یک گروه بدهد. مجموعه ناتهی $ H \subseteq G $ را زيرگروه G تحت عمل دوتایی * گويند، هرگاه H تحت عمل دوتایی * خود تشکیل یک گروه بدهد. H زیر گروه G را نماد $ H \leq G $ نشان میدهیم.
نکته ۱. هر گروه G زیرگروه خودش میباشد.
نکته ۲. اگر e عنصر همانی گروه G باشد، در این صورت مجموعه $\{e\}$ یک زیرگروه G میباشد. به این زیرگروه بدیهی G میگویند.
- بازدید: 10472
حلقه
تعریف حلقه : مجموعه $ A\neq \emptyset $ را همراه با دو عمل دوتایی + و . در نظر بگیرید. مجموعه A یک حلقه است هرگاه در سه شرط زیر صدق نماید:
۱. A نسبت به عمل دوتایی جمع یک گروه آبلی باشد، این معنی میدهد کهA در شرایط زیر صدق میکند:
- عمل دوتایی جمع بر روی A شرکتپذیر میباشد، یعنی
$\forall a , b , c \in A , (a +b) + c = a+(b+c)$
- عمل دوتایی جمع بر رویA دارای خاصیت جابهجایی است، یعنی
$\forall a , b \in A , a + b = b +a$
- عمل دوتایی جمع بر روی A دارای عضو همانی است، یعنی
$\exists 0 \in A , \forall a \in A, a+0=0+a=a$
- هر عضو در A همراه با عمل دوتایی جمع دارای عضو وارون است، یعنی
$\forall a \in A, \exists b \in A, a+b =b+a=0$
۲. A نسبت به عمل دوتایی ضرب شرکتپذیر است، یعنی
$\forall a , b , c \in A , (a.b).c = a.(b.c)$
۳. عمل دوتایی . بر روی عمل دوتایی + پخشپذیر است، یعنی
$\forall a , b , c \in A , (a +b). c = a.c +b.c$ (پخشپذیری از راست)
$\forall a , b , c \in A, c.(a +b)=c.a + c.b$ (پخشپذیری از چپ)
مثال ۱. بررسی کنید $(Q , + , .)$ یک حلقه جابه جایی و یکدار میباشد؟
با توجه به مطلب گروه، میدانیم که $(Q , +)$ تشکیل یک گروه آبلی میدهد. همچنین میدانیم که Q نسبت به ضرب شرکتپذیر است یعنی
$\forall a , b , c \in Q , (a.b).c = a.(b.c)$
در آخر پخشپذیر بودن عمل دوتایی ضرب بر روی عمل دوتایی جمع را در مجموعه Q مورد بررسی قرار میدهیم:
$\forall a , b , c \in Q , (a +b). c = a.c +b.c $ (پخشپذیری از راست)
$\forall a , b , c \in Q, c.(a +b)=c.a + c.b $ (پخشپذیری از چپ)
مثال ۲. بررسی کنید مجموعه زیر همراه با عملهای دوتایی ذکر شده یک حلقه است؟
$R =\{ f(x)=x^n| n\in \mathbb{Z}\}$
$\forall f(x) , g(x) \in R , f(x)+g(x)=x^n.x^m=x^{n+m} $
$\forall f(x) , g(x) \in R, f(x).g(x)=fog(x)=f(g(x))=f(x^m)=(x^m)^n= x^{nm}$
برای بررسی نمودن حلقه بودن مجموعه R کافی است، شرایط ذکر شده برای حلقه را تک تک مورد بررسی قرار دهیم. برای این منظور داریم:
۱. R نسبت به عمل دوتایی جمع تعریف شده در بالا یک گروه آبلی است. لذا داریم:
- R نسبت به عمل دوتایی جمع بسته است. زیرا با توجه به تعریف بالا $x^{n+m}$ دوباره در مجموعه R واقع میشود.
- R نسبت به عمل دوتایی دارای عضو همانی یک میباشد، زیرا به ازای هر $f(x)$ در مجموعه R داریم: $f(x) + 1 = 1+ f(x)=f(x)$.
- به ازای هر عضوی دلخواه $f(x) =x^n$ که از مجموعه R گرفته میشود، عضو منحصر به فردی چون $g(x)$ در R موجود است که داریم:
$f(x)+g(x)= 0=g(x)+f(x)$
کافی است $g(x)$ را مساوی با $x^{-n}$ در نظر بگیریم. حال کافی است که جا به جایی نسبت به عمل دوتایی جمع را مورد بررسی قرار دهیم. برای این منظور داریم:
$\forall f(x) , g(x) \in R , f(x)+ g(x) =x^{n+m}= x^{m+n}= g(x) + f(x)$
حال بررسی میکنیم که R نسبت به عمل دوتایی ضرب شرکتپذیر میباشد. لذا داریم:
$\forall f(x) , g(x) \in R , f(x).g(x)= (x^m)^n=(x^n)^m= g(x).f(x)$
و در آخر عمل دوتایی ضرب بر روی جمع پخشپذیر میباشد، لذا داریم:
$\forall f(x) , g(x) , h(x) \in R, f(x).(g(x)+h(x)) = x^n.(x^m + x^k)=x^n.(x^{m+k})=(x^{m+k})^n= x^{nm} + x^{nk}=f(x).g(x)+f(x).h(x)$
در نتیجه R نسبت به این دو عمل دوتایی یک حلقه را تشکیل میدهد.
تمرین ۱ . مجموعه $Z_4 =\{ \overline{0} , \overline{1} , \overline{2} , \overline{3} \}$ همراه با دو عمل دوتایی تعریف شده به صورت زیر در نظر بگیرید:
$\forall \overline{x} , \overline{y} \in Z_4, \overline{x} + \overline{y}=\overline{x+y} \in Z_4$
$\forall \overline{x} , \overline{y} \in Z_4, \overline{x} . \overline{y}=\overline{xy} \in Z_4$
آیا $ (Z_4 , + , .) $ تشکیل یک حلقه را میدهد؟
تمرین ۲ . آیا مجموعه زیر نسبت به عمل دوتایی ضرب و جمع ماتریسها تشکیل یک حلقه میدهد یا خیر؟
$M_2(R) = \{ A = \left[\begin{array}{c c} a & b\\ c & d \end{array}\right] | a , b , c , d \in R \}. $
- بازدید: 4836
زيرحلقه
تعریف زیر حلقه: فرض کنید که R همراه با دو عمل دوتایی + و . تشکیل یک حلقه بدهد. مجموعه $\emptyset \neq S \subset R$ را در نظر بگیرید. مجموعه S را همراه با دو عمل دوتایی + و . تعریف شده بر روی مجموعه R، زیر حلقهای از حلقه R گویند، هرگاه این مجموعه همراه با دو عمل دوتایی حلقه R خود تشکیل یک حلقه بدهد. در واقع مجموعه S همراه با دو عمل دوتایی بر روی مجموعه R کافی است، در شرایط زیر صدق کند:
۱. مجموعه S نسبت به عمل دوتایی + یک گروه جابهجایی باشد.
۲. مجموعه S نسبت به عمل دوتایی . یک نیمگروه باشد.
۳. بر روی مجموعه S، عمل دوتایی ضرب بر روی عمل دوتایی جمع پخشپذیر است.
زیرحلقه بودن را با نماد $S\leq R$ نشان میدهند.
- بازدید: 6382