خانه

چگونه سری مک‌لورن تابع $ \sin (x) $ را محاسبه کنیم؟

محاسبه سری مک‌لورن تابع $ \sin (x) $ به سادگی از طریق تعریف انجام می‌شود. بنابراین مشتقات تابع را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم.

روش محاسبه سری مک‌لورن تابع $ \sin (x) $ :

برای محاسبه سری مک‌لورن تابع $ \sin x $ ، ابتدا مقدار تابع را در نقطه $ x=0 $ به دست می‌آوریم. سپس مشتق تابع را گرفته و مقدار مشتق را در نقطه $ x=0 $ محاسبه می‌کنیم. پس از آن به ترتیب مشتق مرتبه دوم و سوم و ... را در نقطه $ x=0 $ محاسبه می کنیم. سپس مقادیر به دست آمده را در فرمول سری مک‌لورن جایگذاری کرده و سری (بسط) مک‌لورن تابع به دست خواهد آمد.

$ f(x) = \sin x \Longrightarrow f (0) = \sin (0) = 0 $

$ f(x) = \sin x \Longrightarrow f^{\prime} (x) =  \cos (x)  \Longrightarrow f^{\prime} (0) =  \cos (0) = 1 $

$ f^{\prime}(x) = \cos (x) \Longrightarrow f^{\prime\prime} (x) = - \sin (x)  \Longrightarrow f^{\prime\prime} (0) = - \sin (0) = 0 $

$ f^{\prime\prime}(x) = - \sin (x) \Longrightarrow f^{(3)} (x) =  -\cos (x)  \Longrightarrow f^{(3)} (0) =  -\cos (0) = -1 $

$ f^{(3)}(x) = - \cos (x) \Longrightarrow f^{(4)} (x) = -(- \sin (x)) = \sin x  \Longrightarrow f^{(4)} (0) =  \sin (0) = 0 $

و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر در نقطه $ x = 0 $  به صورت زیر تکرار خواهد شد:

$  f^{(5)} (0) = 1  , f^{(6)} (0) = 0  , f^{(7)} (0) = -1  , f^{(8)} (0) = 0  , f^{(9)} (0) = 1  , \cdots  $

بنابراین سری مک‌لورن تابع $ \sin x $ با جایگذاری مقادیر فوق در فرمول، به صورت زیر خواهد بود:

$ \begin{align*}  \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (0) \frac{x^{n}}{n!} &= f(0) + f^{\prime} (0) x + f^{\prime\prime} (0) \frac{x^{2}}{2!}  + f^{(3)} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdots \\  &= 0 +  1 \times x +0 \times \frac{x^{2}}{2!}  -1 \times \frac{x^{3}}{3!} +0 \times \frac{x^{4}}{4!} + 1 \times \frac{x^{5}}{5!} \\ & \qquad + 0 \times \frac{x^{6}}{6!} -1 \times \frac{x^{7}}{7!} +0 \times \frac{x^{8}}{8!} + 1 \times \frac{x^{9}}{9!} + \cdots  \\ & = x -\frac{x^{3}}{3!} +  \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} +\frac{x^{9}}{9!} - \cdots   \end{align*} $

بنابراین چندجمله‌ای سری مک‌لورن تابع $ f(x) = \sin x $ به صورت زیر می‌باشد: 

$ \boxed { \sin x = x -\frac{x^{3}}{3!} +  \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} +\frac{x^{9}}{9!} - \cdots = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n+1)!} } $

چگونه سری مک‌لورن تابع $ e^x $ را محاسبه کنیم؟

محاسبه سری مک‌لورن تابع $ e^x $ به سادگی از طریق تعریف انجام می‌شود. ببینید:

روش محاسبه سری مک‌لورن تابع $ e^x $ :

مانند مثال‌های قبل برای محاسبه سری مک‌لورن تابع نمایی $ f(x) = e^x $ ،ابتدا مقدار تابع را در نقطه $ x=0 $ به دست می‌آوریم. سپس مشتق تابع را گرفته و مقدار مشتق را در نقطه $ x=0 $ محاسبه می‌کنیم. پس از آن به ترتیب مشتق مرتبه دوم و سوم و ... را در نقطه $ x=0 $ محاسبه می کنیم. سپس مقادیر به دست آمده را در فرمول سری مک‌لورن جایگذاری کرده و بسط سری مک‌لورن تابع $ f(x) = e^x $ به دست خواهد آمد.

$ f(x) = e^x \Longrightarrow f (0) = e^0 = 1 $

$ f(x) = e^x \Longrightarrow f^{\prime} (x) = e^x  \Longrightarrow f^{\prime} (0) = e^0 = 1 $

$ f^{\prime}(x) = e^x \Longrightarrow f^{\prime\prime} (x) = e^x  \Longrightarrow f^{\prime\prime} (0) = e^0 = 1 $

$ f^{\prime\prime}(x) = e^x \Longrightarrow f^{(3)} (x) =  e^x \Longrightarrow f^{(3)} (0) =  e^0 = 1 $

$ f^{(3)}(x) = e^x \Longrightarrow f^{(4)} (x) =  e^x \Longrightarrow f^{(4)} (0) =  e^0 = 1 $

و به همین ترتیب، چون مشتق تابع نمایی با خودش برابر است، لذا مشتق مراتب بالاتر در نقطه $ x = 0 $  همگی برابر با $ 1 $ خواهد شد:

$  f^{(5)} (0) = 1  , f^{(6)} (0) = 1  , f^{(7)} (0) = 1  , f^{(8)} (0) = 1  , f^{(9)} (0) = 1  , \cdots  $

بنابراین سری مک‌لورن تابع $ e^x $ با جایگذاری مقادیر فوق در فرمول، به صورت زیر خواهد بود:

$ \begin{align*}  \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (0) \frac{x^{n}}{n!} &= f(0) + f^{\prime} (0) x + f^{\prime\prime} (0) \frac{x^{2}}{2!}  + f^{(3)} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdots \\  &= 1 +  1 \times x + 1 \times \frac{x^{2}}{2!}  + 1 \times \frac{x^{3}}{3!} + 1 \times \frac{x^{4}}{4!} + 1 \times \frac{x^{5}}{5!} \\ & \qquad +1 \times \frac{x^{6}}{6!} + 1 \times \frac{x^{7}}{7!} + 1 \times \frac{x^{8}}{8!} + 1 \times \frac{x^{9}}{9!} + \cdots  \\ & = 1 +x + \frac{x^{2}}{2!} +  \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} +\frac{x^{5}}{5!} +\cdots  \end{align*} $

بنابراین چندجمله‌ای سری مک‌لورن تابع $ f(x) = e^x $ به صورت زیر می‌باشد:

$ \boxed{ e^x = 1 +x + \frac{x^{2}}{2!} +  \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} +\frac{x^{5}}{5!} +\cdots } $

چگونه سری مک‌لورن تابع $ \sin (x^2) $ را محاسبه کنیم؟

محاسبه سری مک‌لورن تابع $ \sin (x^2) $ از طریق تعریف سری مک‌لورن و محاسبه مشتقات هر مرحله، کار بسیار محاسباتی و زمان‌بر و است. بنابراین ما روش زیر را پیشنهاد می‌کنیم. آیا سری مک‌لورن تابع $ \sin x $‌ را می‌دانید؟ اگر نمی‌دانید ابتدا مطلب « چگونه سری مک‌لورن تابع sin (x) را محاسبه کنیم؟» را مشاهده کنید. 

روش محاسبه سری مک‌لورن تابع $ \sin (x^2) $:

برای محاسبه سری مک‌لورن تابع  $ \sin (x^2) $ ، از سری مک‌لورن تابع $ \sin x $ استفاده می‌کنیم. در این تابع تغییر متغیر $ x = t^2 $ را قرار می‌دهیم. بنابراین کافی است در سری مک‌لورن تابع $ \sin x $ ، به جای $ x $ ، قرار دهیم $ x^2 $ . بنابراین خواهیم داشت : 

$ \begin{align*} \sin (x^2) & = x^2 -\frac{(x^2)^{3}}{3!} +  \frac{(x^2)^{5}}{5!} - \frac{(x^2)^{7}}{7!} +\frac{(x^2)^{9}}{9!} - \cdots  \\ & = x^2 -\frac{x^{6}}{3!} +  \frac{x^{10}}{5!} - \frac{x^{14}}{7!} +\frac{x^{18}}{9!} - \cdots \\ & = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{4n + 2}}{(2n+1)!} \end{align*} $