جدول تبدیلات لاپلاس

جدول تبدیلات لاپلاس شامل تابع‌های مهم و تبدیل لاپلاس آن‌ها می‌باشد. تبدیلات لاپلاس بسیاری از توابع مهم (۳۷ نوع تابع) در سایت ریاضیات ایران محاسبه شده و فرمول نهایی آن در این جدول آورده شده است. پیشنهاد می‌گردد تبدیلات لاپلاس این جدول را به خاطر بسپارید و در مواقع لزوم از آن‌ها برای محاسبه تبدیلات لاپلاس توابع پیچیده تر استفاده نمایید. سعی شده است تبدیل لاپلاس بسیاری از توابعی که عموماً مورد نیاز است در این جدول آورده شود، به همین جهت کاملترین جدول تبدیلات لاپلاس می‌باشد. اما بدون شک تبدیل لاپلاس همه توابع در آن نیست.

تبدیل لاپلاس ترکیب خطی توابع

همانگونه که در درس اول تبدیلات لاپلاس در سایت ریاضیات ایران مشاهده نمودید، محاسبه مستقیم تبدیلات لاپلاس کاری واقعاً پیچیده است. معمولاً هنگام محاسبه واقعی تبدیلات لاپلاس، از جدول تبدیلات لاپلاس استفاده می‌کنیم. جدولی که شامل تبدیلات لاپلاس توابع عمومی و مهم است و بسیاری از تبدیلات لاپلاس خواسته شده را می‌توان از این جدول با اندکی تغییر به دست آورد.

اولین قضیه ای که در محاسبه تبدیلات لاپلاس از آن می‌توانیم استفاده کنیم «قضیه‌ی لاپلاس ترکیب خطی دو تابع» است که به صورت زیر بیان می شود:  

قضیه تبدیل لاپلاس ترکیب خطی دو تابع: فرض کنید f(t) و g(t) دو تابع باشند که تبدیلات لاپلاس آن‌ها را می‌دانیم یا در جدول تبدیلات لاپلاس موجود باشد و  a و b دو عدد حقیقی دلخواه باشند، در این صورت تبدیلات لاپلاس ترکیب خطی f و g یعنی   به صورت زیر محاسبه می‌شود:

یا به طور خلاصه اگر  و  باشد، داریم:

به بیان دیگر، ما نگران ضرب و تقسیم عدد در یک تابع و حتی جمع و تفریق توابع نیستیم. در این حالت‌ها می‌توانیم همان عملیات را روی تبدیلات لاپلاس نظیر نیز انجام دهیم. مثال‌های زیر را ببینید.

معکوس تبدیل لاپلاس

یافتن تبدیل لاپلاس یک تابع با داشتن جدول تبدیلات لاپلاس که در بخش های قبل سایت ریاضیات ایران دیدید، کار پیچیده ای نیست. در این درس می‌خواهیم ببینیم اگر یک تبدیل لاپلاس داده شده باشد، می‌توانیم تابع یا تابع‌های اولیه این تبدیل را بیاییم یا خیر؟ همانطور که خواهیم دید این کار امکانپذیر است ولی کمی پیچیده تر از محاسبه تبدیل لاپلاس است.

در این حالت می‌گوییم تبدیل معکوس لاپلاس  را می‌یابیم و از نوشتار زیر استفاده می‌کنیم :