خانه

جایگشت زوج و فرد: فرض کنیم ‎$ ‌‌‎\sigma ‌‎$‎ ‏یک جایگشت بر روی مجموعه‌ S‌‌‎ باشد. جایگشت ‎$ ‌‌‌‎\sigma ‌‎$‎، ‏را جایگشت زوج گویند، هرگاه تعداد کل انعکاس‌های جایگشت زوج باشد و جایگشت ‎$\sigma ‌‎$‎، ‏را جایگشت فرد می‌گویند، هرگاه تعداد کل انعکاس‌های آن فرد باشد. با توجه به زوج و فرد بودن یک جایگشت می‌توانیم تابع زیر را تعریف کنیم:

در رشته ریاضی دانشگاهی، درسی به نام «مبانی ریاضی» وجود دارد که همه دانشجویان رشته ریاضی باید این درس را در ترم اول یا دوم تحصیلی خود، بگذرانند. اين درس به بیان پايه‌ها و اصول رياضی می‌پردازد. ناديده گرفتن دانش قبلی نسبت به رياضيات از ضروریات ورود به اين درس است. لذا اولين مبحث در اين درس آشنایی با «منطق رياضی» يا همان «منطق دو ارزشی» است. در اين مبحث هر جمله (گزاره) با دو ارزش «درست» يا «نادرست» سنجيده می‌شود و با ترکيب جملات (گزاره های) اوليه با عملگرهای منطقی مانند «و»، «يا»، «آنگاه» و ... جملات پيچيده‌تری به دست می‌آيد. ارزش درستی يا نادرستی اين جملات پيچيده‌تر با استفاده از ارزش جملات اوليه آن بدست می‌آيد. اين موضوعات تحت عنوان «حساب گزاره‌ها» شناخته می‌شود.

پس از مدتی دريافتم که اين موضوع توسط رياضيدانی به نام «کورت گودل» به اثبات رسيده است. اين قضيه به «قضيه ناتماميت گودل» مشهور است. گودل در زمان اثبات اين قضيه يک جوان 25 ساله بود. او نشان داد که «تقريباً در تمام نظريه‌های رياضی گزاره‌های درستی يافت می‌شوند که اين گزاره‌ها تصميم ناپذيرند».

گزاره‌ای تصميم ناپذير ناميده می‌شود که آن نظريه نه بتواند آن را اثبات و نه آن را رد کند. شرايطی که برای نظريه‌ها وجود دارد آن است که سازگار باشند و به نحوی اعداد طبيعی را قبول داشته باشند. سازگاری به آن معنی است که به تناقض نرسند. قطعاً هر نظريه متناقض هر چيزی را می‌تواند ثابت کند، بنابراين شرط «سازگاری» اهميت خاصی دارد.